5.8 Determine the stream function
that will yield the velocity field
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional
e pede para determinar a função corrente
que gera esse campo.
Informações fornecidas que vamos usar:
Informações fornecidas que vamos usar:
- a componente em
(velocidade horizontal) é ; - a componente em
(velocidade vertical) é .
O objetivo é encontrartal que suas derivadas gerem pela convenção escolhida (ver passo seguinte).
Passo 2
Primeira checagem importante (motivação didática): para que exista uma função corrente
suave que descreva esse campo, o campo deve ser incompressível, ou seja, ter divergência nula:
Calculemos as derivadas parciais:
Somando:
Como a divergência é zero, faz sentido procurar uma função corrente
.
Passo 3
Definimos a relação entre
e o campo de velocidade (convenção usual em 2D):
Explicação curta e intuitiva: curvas de nível
constante são linhas de corrente; a primeira relação diz que a derivada de
em
dá a componente horizontal
, e a segunda que a derivada negativa em
dá a componente vertical
. Essas fórmulas implicam automaticamente divergência nula, pois
.
Passo 4
Vamos integrar a relação
para obter
. Escrevendo
explicitamente:
Integramos em relação a
:
Façamos a integral termo a termo:
Somando e lembrando que a integração pode acrescentar uma função arbitrária que dependa só de
, obtemos
onde
é uma função desconhecida de
(constante em relação a
).
Passo 5
Agora usamos a segunda relação
para determinar
. Primeiro calcule
:
Então
Devemos igualar isso à componente
dada:
Igualando:
Cancelam-se os termos
em ambos os lados, sobrando uma equação para
:
Passo 6
Integramos
para obter
:
onde
é uma constante arbitrária (constante de integração). Substituindo
em
temos a expressão da função corrente (aqui escrevo a combinação para clareza didática; a resposta final será colocada no campo indicado):
Passo 7
Verificação rápida (ensina como checar na prova): calcule
e
a partir da expressão encontrada e confira que voltam
e
.
-
. -
.
Tudo confere, logo a função corrente encontrada está correta (até uma constante aditiva, que não altera linhas de corrente).