5.8 Determine the stream function \psi that will yield the velocity field \vec{V}=2 y(2 x+1) \hat{i}+\left[x(x+1)-2 y^{2}\right] \hat{j} \mathrm{~V}

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional
\vec{V} = 2y(2x+1)\,\hat{i} + \bigl[x(x+1)-2y^{2}\bigr]\,\hat{j}
e pede para determinar a função corrente \psi(x,y) que gera esse campo.
Informações fornecidas que vamos usar:
  • a componente em x (velocidade horizontal) é \;u(x,y)=2y(2x+1)\;;
  • a componente em y (velocidade vertical) é \;v(x,y)=x(x+1)-2y^{2}\;.
    O objetivo é encontrar \psi(x,y) tal que suas derivadas gerem \vec{V} pela convenção escolhida (ver passo seguinte).

Passo 2

Primeira checagem importante (motivação didática): para que exista uma função corrente \psi suave que descreva esse campo, o campo deve ser incompressível, ou seja, ter divergência nula:
\text{div}\,\vec{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2y(2x+1)\bigr)=2y\cdot 2=4y,
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x(x+1)-2y^{2}\bigr)=-4y.
Somando:
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=4y-4y=0.
Como a divergência é zero, faz sentido procurar uma função corrente \psi.

Passo 3

Definimos a relação entre \psi e o campo de velocidade (convenção usual em 2D):
u=\frac{\partial \psi}{\partial y}, \qquad v=-\frac{\partial \psi}{\partial x}.
Explicação curta e intuitiva: curvas de nível \psi= constante são linhas de corrente; a primeira relação diz que a derivada de \psi em y dá a componente horizontal u, e a segunda que a derivada negativa em x dá a componente vertical v. Essas fórmulas implicam automaticamente divergência nula, pois \partial u/\partial x+\partial v/\partial y=\partial^2\psi/(\partial x\partial y)-\partial^2\psi/(\partial y\partial x)=0.

Passo 4

Vamos integrar a relação u=\partial \psi/\partial y para obter \psi. Escrevendo u explicitamente:
u(x,y)=2y(2x+1)=4xy+2y.
Integramos em relação a y:
\psi(x,y)=\int u(x,y)\,dy=\int (4xy+2y)\,dy.
Façamos a integral termo a termo:
\int 4xy\,dy = 4x\int y\,dy = 4x\cdot\frac{y^{2}}{2}=2x y^{2},
\int 2y\,dy = 2\cdot\frac{y^{2}}{2}=y^{2}.
Somando e lembrando que a integração pode acrescentar uma função arbitrária que dependa só de x, obtemos
\psi(x,y)=y^{2}(2x+1)+h(x),
onde h(x) é uma função desconhecida de x (constante em relação a y).

Passo 5

Agora usamos a segunda relação v=-\partial \psi/\partial x para determinar h(x). Primeiro calcule \partial \psi/\partial x:
\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}(2x+1)+h(x)\bigr)=y^{2}\cdot 2 + h'(x)=2y^{2}+h'(x).
Então
-\frac{\partial \psi}{\partial x}=-2y^{2}-h'(x).
Devemos igualar isso à componente v dada:
v(x,y)=x(x+1)-2y^{2}=x^{2}+x-2y^{2}.
Igualando:
-2y^{2}-h'(x)=x^{2}+x-2y^{2}.
Cancelam-se os termos -2y^{2} em ambos os lados, sobrando uma equação para h'(x):
-h'(x)=x^{2}+x \quad\Rightarrow\quad h'(x)=-x^{2}-x.

Passo 6

Integramos h'(x) para obter h(x):
h(x)=\int (-x^{2}-x)\,dx = -\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+C,
onde C é uma constante arbitrária (constante de integração). Substituindo h(x) em \psi(x,y)=y^{2}(2x+1)+h(x) temos a expressão da função corrente (aqui escrevo a combinação para clareza didática; a resposta final será colocada no campo indicado):
\psi(x,y)=y^{2}(2x+1)-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+C.

Passo 7

Verificação rápida (ensina como checar na prova): calcule \partial \psi/\partial y e -\partial \psi/\partial x a partir da expressão encontrada e confira que voltam u e v.
  • \displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial y}=2y(2x+1)=u(x,y).
  • \displaystyle -\frac{\partial \psi}{\partial x}=-\bigl(2y^{2}-x^{2}-x\bigr)=x^{2}+x-2y^{2}=v(x,y).
    Tudo confere, logo a função corrente encontrada está correta (até uma constante aditiva, que não altera linhas de corrente).

Resposta

\psi(x,y)=y^{2}(2x+1)-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+C

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