Questão 5. Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Passo 1
O enunciado pede para calcular
como uma série de potências e determinar o raio de convergência. Vamos usar a expansão em série de
e integrar termo a termo.
Passo 2
Começamos lembrando da expansão em série de Taylor de
centrada em zero, válida para
:
Passo 3
Multiplicamos essa série por
para obter a série do integrando:
Passo 4
Agora integramos termo a termo, lembrando que para cada
onde agrupamos todas as constantes em uma única constante
. Assim:
Passo 5
O raio de convergência dessa série é o mesmo da expansão de
, que pelo teste da razão vale
.
Resposta
Raio de convergência:
.