Questão 5. Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
integral t^2 ln (1+t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral t^2ln(1+t),dt como uma série de potências e determinar o raio de convergência. Vamos usar a expansão em série de ln(1+t) e integrar termo a termo.

Passo 2

Começamos lembrando da expansão em série de Taylor de ln(1+t) centrada em zero, válida para |t|<1:
ln(1+t)=sumn=1^infty(-1)^n-1t^nn

Passo 3

Multiplicamos essa série por t^2 para obter a série do integrando:
t^2ln(1+t)=sumn=1^infty(-1)^n-1t^n+2n

Passo 4

Agora integramos termo a termo, lembrando que para cada n
integral t^n+2,dt=t^n+3n+3+Cn,
onde agrupamos todas as constantes em uma única constante C. Assim:
integral t^2ln(1+t),dt=C+sumn=1^infty(-1)^n-11ncdott^n+3n+3 =C+sumn=1^infty(-1)^n-1t^n+3n(n+3)

Passo 5

O raio de convergência dessa série é o mesmo da expansão de ln(1+t), que pelo teste da razão vale R=1.

Resposta

integral t^2ln(1+t),dt=C+sumn=1^infty(-1)^n-1t^n+3n(n+3),
Raio de convergência: R=1.

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