Questão 9. Calcule a integral indefinida como uma série de infinita.

Passo 1

Neste exercício vamos calcular integral arctan(x^2),dx utilizando expansão em série de potências. Vamos precisar conhecer a série de Taylor de arctan(u) e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Sabendo que para |u|<=1| vale
arctan(u)=sumn=0^infty(-1)^nu^2n+12n+1,
substituímos u=x^2 para obter
arctan(x^2)=sumn=0^infty(-1)^nx^4n+22n+1

Passo 3

Agora integramos termo a termo. Cada termo é da forma (-1)^n2n+1x^4n+2. Como
integral x^4n+2,dx=x^4n+34n+3,
vemos que
integralarctan(x^2),dx=sumn=0^infty(-1)^n12n+1cdotx^4n+34n+3+C =sumn=0^infty(-1)^nx^4n+3(2n+1)(4n+3)+C

Passo 4

A série resultante converge para |x|<=1, trazendo a expressão final da integral indefinida em forma de série infinita.

Resposta

integralarctan(x^2),dx=sumn=0^infty(-1)^nx^4n+3(2n+1)(4n+3)+C

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