Questão 2 Calcule a integral de linha
integralC x y d x+x^3 d y
onde C é a curva poligonal formada pela união dos segmentos de reta de (0,0) a(2,0) e de (2,0) a (2,3), com orientação começando em (0,0) e terminando em (2,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha da forma diferencial
omega = x,y,dx + x^3,dy
ao longo da curva poligonal C que vai de (0,0) a (2,0) e depois a (2,3). O conteúdo aqui é o de integrais de linha de formas diferenciais de primeira ordem, e vamos resolver parametrizando cada segmento de reta.

Passo 2

Parametrizamos o primeiro segmento C1 de (0,0) a (2,0) por
r1(t) = (x(t),y(t)) = (t,0), tin[0,2]
Então
dx = dt, dy = 0
Substituindo em omega:
x,y,dx + x^3,dy = tcdot 0cdot dt + t^3cdot 0 = 0,
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integralC1omega = integral0^20,dt = 0

Passo 3

Parametrizamos o segundo segmento C2 de (2,0) a (2,3) por
r2(t) = (x(t),y(t)) = (2,t), tin[0,3]
Então
dx = 0, dy = dt
Substituindo em omega:
x,y,dx + x^3,dy = 2cdot tcdot 0 + 2^3,dt = 8,dt
Portanto
integralC2omega = integral0^38,dt = 8l[tr]0^3 = 24

Resposta

A integral de linha ao longo de C é 24.

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