Questão: Dados
e
.
(a) Encontre um potencial
associado a
, i.e,
.
(b) Use o resultado anterior para calcular
sobre a curva
.
(a) Encontre um potencial
(b) Use o resultado anterior para calcular
Passo 1
O enunciado fornece claramente:
- O campo vetorial
. - A curva parametrizada
, com .
O que se pede:
(a) Encontrar uma função potencialtal que (ou seja, e ).
(b) Usar esse potencial para calcular a integral de linhaao longo da curva .
Passo 2
Verificar se faz sentido procurar um potencial (isto é, se o campo é conservativo) checando a igualdade das derivadas parciais mistas:
- Seja
(componente em ) e (componente em ).
Calculare :
Como
em todo
, o campo admite potencial (as derivadas são contínuas e iguais).
Passo 3
Método para encontrar o potencial
(explicando passo a passo):
- Sabendo que
, integra-se essa igualdade em relação a , tratando como constante. A integral produzirá até uma função que dependa só de (pois ao integrar em perdemos qualquer termo que dependa somente de ).
Efetivamente:
onde
é uma função arbitrária de
(a “constante” de integração que pode depender de
).
Passo 4
Determinar
impondo
:
- Calcular
a partir de :
- Igualar à componente
:
Logo
é uma constante. Podemos escolher
sem perda de generalidade (potencial definido até adição de constante).
Passo 5
Escrever o potencial final:
Escolhendo
para simplicidade,
Passo 6
Usar o potencial para calcular a integral de linha (explicando por que isso funciona):
- Para campos que são gradiente de uma função
, vale o teorema fundamental das integrais de linha:
ou seja, basta avaliar o potencial nos extremos da parametrização
e
.
Passo 7
Calcular os pontos finais da curva usando a parametrização (aplicando diretamente os valores de
):
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Avaliar o potencial nos pontos finais e obter a integral:
Portanto
Resposta
(a)
(b)
(b)