1^{a} Questão: Dados \vec{F}(x, y)=x y^{2} \hat{\imath}+x^{2} y \hat{\jmath} e C: \vec{r}(t)=\left(t+\sin \left(\frac{1}{2} \pi t\right), \cos \left(\frac{1}{2} \pi t\right)\right), 0 \leq t \leq 1.
(a) Encontre um potencial f=f(x, y) associado a \vec{F}(x, y), i.e, \vec{F}=\nabla f.
(b) Use o resultado anterior para calcular \int_{C} \vec{F} . d \vec{r} sobre a curva C.

Passo 1

O enunciado fornece claramente:
  • O campo vetorial \vec{F}(x,y)=x y^{2}\,\hat{\imath}+x^{2} y\,\hat{\jmath}.
  • A curva parametrizada \vec{r}(t)=\big(t+\sin\big(\tfrac{1}{2}\pi t\big),\;\cos\big(\tfrac{1}{2}\pi t\big)\big), com 0\le t\le1.
    O que se pede:
    (a) Encontrar uma função potencial f(x,y) tal que \vec{F}=\nabla f (ou seja, \partial f/\partial x = x y^{2} e \partial f/\partial y = x^{2} y).
    (b) Usar esse potencial para calcular a integral de linha \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} ao longo da curva C.

Passo 2

Verificar se faz sentido procurar um potencial (isto é, se o campo é conservativo) checando a igualdade das derivadas parciais mistas:
  • Seja P(x,y)=x y^{2} (componente em \hat\imath) e Q(x,y)=x^{2} y (componente em \hat\jmath).
    Calcular \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{2}\big)=2x y,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2} y\big)=2x y.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} em todo (x,y), o campo admite potencial (as derivadas são contínuas e iguais).

Passo 3

Método para encontrar o potencial f(x,y) (explicando passo a passo):
  • Sabendo que \dfrac{\partial f}{\partial x}=P(x,y)=x y^{2}, integra-se essa igualdade em relação a x, tratando y como constante. A integral produzirá f até uma função que dependa só de y (pois ao integrar em x perdemos qualquer termo que dependa somente de y).
    Efetivamente:
f(x,y)=\int x y^{2}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}y^{2}+g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y (a “constante” de integração que pode depender de y).

Passo 4

Determinar g(y) impondo \dfrac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y):
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} a partir de f(x,y)=\tfrac{1}{2}x^{2}y^{2}+g(y):
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{1}{2}x^{2}\cdot 2y + g'(y) = x^{2}y + g'(y).
  • Igualar à componente Q(x,y)=x^{2}y:
x^{2}y + g'(y) = x^{2}y \quad\Rightarrow\quad g'(y)=0.
Logo g(y) é uma constante. Podemos escolher g(y)=0 sem perda de generalidade (potencial definido até adição de constante).

Passo 5

Escrever o potencial final:
f(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+C.
Escolhendo C=0 para simplicidade,
f(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}.

Passo 6

Usar o potencial para calcular a integral de linha (explicando por que isso funciona):
  • Para campos que são gradiente de uma função f, vale o teorema fundamental das integrais de linha:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{C}\nabla f\cdot d\vec{r}=f\big(\vec{r}(1)\big)-f\big(\vec{r}(0)\big),
ou seja, basta avaliar o potencial nos extremos da parametrização t=0 e t=1.

Passo 7

Calcular os pontos finais da curva usando a parametrização (aplicando diretamente os valores de t):
  • Para t=0:
\vec{r}(0)=\big(0+\sin(0),\;\cos(0)\big)=(0,1).
  • Para t=1:
\vec{r}(1)=\big(1+\sin(\tfrac{1}{2}\pi),\;\cos(\tfrac{1}{2}\pi)\big)=(1+1,\,0)=(2,0).

Passo 8

Avaliar o potencial nos pontos finais e obter a integral:
f\big(\vec{r}(1)\big)=f(2,0)=\frac{1}{2}\cdot 2^{2}\cdot 0^{2}=0,
f\big(\vec{r}(0)\big)=f(0,1)=\frac{1}{2}\cdot 0^{2}\cdot 1^{2}=0.
Portanto
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f\big(\vec{r}(1)\big)-f\big(\vec{r}(0)\big)=0-0=0.

Resposta

(a) f(x,y)=\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}
(b) \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0

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