Em cada caso, verifique se
é um homomorfismo.
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
com
,
e
A pergunta é: verificar se
é um homomorfismo (ou seja, se preserva a operação de adição).
Passo 2
Definição que vamos usar (com explicação): uma aplicação
entre dois grupos aditivos preserva a operação se, para todo
,
Isto significa que aplicar
ao somatório de dois inteiros dá o mesmo resultado que somar as imagens de cada inteiro separadamente. Para provar que
é homomorfismo precisamos mostrar essa igualdade para quaisquer
.
Passo 3
Verificação direta da propriedade:
Usando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição (que diz que
para inteiros
), temos
Mas
e
. Portanto
Como isso vale para quaisquer
, a condição de homomorfismo está satisfeita.
Passo 4
Verificações extras (úteis para a prova, mostrando compreensão):
- Preservação da identidade:
. Assim a identidade do grupo origem vai para a identidade do grupo alvo. - Preservação de inversos: para
,
ou seja,
é o inverso de
.
Passo 5
Observações adicionais que ajudam a entender a estrutura:
- Núcleo:
. Resolver dá . Logo ; isso significa que é injetora. - Imagem:
. Portanto a imagem é o subgrupo dos inteiros múltiplos de . Em particular não é sobrejetora porque, por exemplo, .
Resposta
Sim,
é um homomorfismo de
em
.