Em cada caso, verifique se f: G \longrightarrow J é um homomorfismo.
G=(Z,+), J=(Z,+) e f(x)=-8 x.

Passo 1

O enunciado dá a função f\colon G\longrightarrow J com G=(\mathbb{Z},+), J=(\mathbb{Z},+) e
f(x)=-8x.
A pergunta é: verificar se f é um homomorfismo (ou seja, se preserva a operação de adição).

Passo 2

Definição que vamos usar (com explicação): uma aplicação f entre dois grupos aditivos preserva a operação se, para todo a,b\in\mathbb{Z},
f(a+b)=f(a)+f(b).
Isto significa que aplicar f ao somatório de dois inteiros dá o mesmo resultado que somar as imagens de cada inteiro separadamente. Para provar que f é homomorfismo precisamos mostrar essa igualdade para quaisquer a,b\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Verificação direta da propriedade:
f(a+b) = -8(a+b).
Usando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição (que diz que c(x+y)=cx+cy para inteiros c,x,y), temos
-8(a+b) = -8a + (-8b).
Mas -8a = f(a) e -8b = f(b). Portanto
f(a+b) = -8a + (-8b) = f(a) + f(b).
Como isso vale para quaisquer a,b\in\mathbb{Z}, a condição de homomorfismo está satisfeita.

Passo 4

Verificações extras (úteis para a prova, mostrando compreensão):
  • Preservação da identidade: f(0) = -8\cdot 0 = 0. Assim a identidade do grupo origem vai para a identidade do grupo alvo.
  • Preservação de inversos: para x\in\mathbb{Z},
f(-x) = -8(-x) = 8x = -(-8x) = -f(x),
ou seja, f(-x) é o inverso de f(x).

Passo 5

Observações adicionais que ajudam a entender a estrutura:
  • Núcleo: \ker(f)=\{x\in\mathbb{Z}\mid f(x)=0\}. Resolver -8x=0 x=0. Logo \ker(f)=\{0\}; isso significa que f é injetora.
  • Imagem: \operatorname{Im}(f)=\{-8x\mid x\in\mathbb{Z}\}=\{\,8k\mid k\in\mathbb{Z}\,\}=8\mathbb{Z}. Portanto a imagem é o subgrupo dos inteiros múltiplos de 8. Em particular f não é sobrejetora porque, por exemplo, 1\notin 8\mathbb{Z}.

Resposta

Sim, f é um homomorfismo de (\mathbb{Z},+) em (\mathbb{Z},+).

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