Use integração por partes para provar as fórmula de redução de integral:
Se I_{m}=\int x^{m} \operatorname{sen} x d x e J_{m}=\int x^{m} \cos x d x, então I_{m}=-x^{m} \cos x+m J_{m-1} \mathrm{e} J_{m}=x^{m} \operatorname{sen} x-m I_{m-1}.

Passo 1

O enunciado define as integrais de redução
I_{m} = \int x^{m}\sin x\,dx \quad\text{e}\quad J_{m} = \int x^{m}\cos x\,dx
e pede para mostrar, via integração por partes, que
I_{m} = -x^{m}\cos x + m\,J_{m-1}, \qquad J_{m} = x^{m}\sin x - m\,I_{m-1}.
O conteúdo principal é a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Para obter I_{m} escolhemos
u = x^{m},\quad dv = \sin x\,dx
logo
du = m\,x^{m-1}dx,\quad v = -\cos x.
Aplicando integração por partes:
I_{m} = \int x^{m}\sin x\,dx = u\,v - \int v\,du = -x^{m}\cos x - \int\bigl(-\cos x\bigr)\,m\,x^{m-1}dx = -x^{m}\cos x + m\int x^{m-1}\cos x\,dx = -x^{m}\cos x + m\,J_{m-1}.

Passo 3

Para obter J_{m} escolhemos
u = x^{m},\quad dv = \cos x\,dx
logo
du = m\,x^{m-1}dx,\quad v = \sin x.
Aplicando integração por partes:
J_{m} = \int x^{m}\cos x\,dx = u\,v - \int v\,du = x^{m}\sin x - \int \sin x\,m\,x^{m-1}dx = x^{m}\sin x - m\int x^{m-1}\sin x\,dx = x^{m}\sin x - m\,I_{m-1}.

Resposta

I_{m} = -x^{m}\cos x + m\,J_{m-1}
J_{m} = x^{m}\sin x - m\,I_{m-1}

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