Questão 8 - Calcule a integral das seguintes funções vetoriais:
\int_{-\pi}^{\pi / 2} \vec{i}+\cos (t) \vec{j}+2 \operatorname{sen}(t) \vec{k} d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da função vetorial \vec F(t)=\vec i+\cos(t)\,\vec j+2\sin(t)\,\vec k
no intervalo \bigl[-\pi,\tfrac{\pi}{2}\bigr]. Vamos usar o fato de que a integral de uma função vetorial se faz componente a componente.

Passo 2

Componente \vec i:
\int_{-\pi}^{\pi/2}1\,dt =[t]_{-\pi}^{\pi/2} =\frac{\pi}{2}-(-\pi) =\frac{3\pi}{2}.

Passo 3

Componente \vec j:
\int_{-\pi}^{\pi/2}\cos(t)\,dt =[\sin(t)]_{-\pi}^{\pi/2} =\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\sin(-\pi) =1-0 =1.

Passo 4

Componente \vec k:
\int_{-\pi}^{\pi/2}2\sin(t)\,dt =[-2\cos(t)]_{-\pi}^{\pi/2} =-2\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\bigl(-2\cos(-\pi)\bigr) =0-\bigl(-2\cdot(-1)\bigr) =-2.

Passo 5

Reunindo as componentes, a integral vetorial vale
\frac{3\pi}{2}\,\vec i + 1\,\vec j - 2\,\vec k.

Resposta

\frac{3\pi}{2}\,\vec i + \vec j -2\,\vec k

Exercícios relacionados