Questão 2. Calcule a integral tripla.
integral triplaE z d V, onde E é a região limitada pelo tetraedro de vértices (0,0,0),(1,1,0),(1,0,0) e (1,0,1) Resp: 124

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral tripla integral triplaE z , dV, onde E é a região delimitada pelo tetraedro com vértices em (0,0,0), (1,1,0), (1,0,0) e (1,0,1). Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integrável, especificamente sobre integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região E em termos de limites de integração e usar coordenadas cartesianas para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o tetraedro E. Ele tem quatro vértices:
  • (0,0,0): a origem.
  • (1,1,0): no plano z=0.
  • (1,0,0): também no plano z=0.
  • (1,0,1): eleva-se ao longo do eixo z até z=1.
Observando esses pontos, vemos que o tetraedro está limitado no eixo x por x=0 a x=1. Para cada valor de x, precisamos determinar os limites de y e, para cada (x,y), os limites de z.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração:
  1. Limites de x: Como os vértices têm x variando de 0 a 1, então x varia de 0 a 1.
  2. Limites de y para um dado x: No plano z=0, os pontos (0,0,0), (1,1,0) e (1,0,0) indicam que para um determinado x, y varia de 0 a 1 - x.
  3. Limites de z para um dado (x,y): Observando os vértices (1,0,0) e (1,0,1), percebemos que, para cada (x,y), z varia de 0 a x.
Portanto, os limites de integração são:
  • 0 <= x <= 1
  • 0 <= y <= 1 - x
  • 0 <= z <= x

Passo 4

Agora que temos os limites de integração, podemos configurar a integral tripla. A ordem de integração será z, y e depois x. Assim, a integral fica:
integralx=0^1 integraly=0^1 - x integralz=0^x z , dz , dy , dx
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a z:
integralz=0^x z , dz = [ z^22 ]0^x = x^22
Agora, nossa integral se simplifica para:
integralx=0^1 integraly=0^1 - x x^22 , dy , dx

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a y:
integraly=0^1 - x x^22 , dy = x^22 cdot (1 - x - 0) = x^22 (1 - x)
Agora, a integral restando é:
integralx=0^1 x^22 (1 - x) , dx

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x^22 (1 - x) = x^2 - x^32
Portanto, a integral fica:
12 integralx=0^1 x^2 - x^3 , dx

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
12 ( integralx=0^1 x^2 , dx - integralx=0^1 x^3 , dx )
Calculando cada integral:
  1. integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 13
  2. integral0^1 x^3 , dx = [ x^44 ]0^1 = 14
Substituindo:
12 ( 13 - 14 ) = 12 ( 4 - 312 ) = 12 cdot 112 = 124

Resposta

dfrac124

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