Questão 2. Calcule a integral tripla.
, onde
é a região limitada pelo tetraedro de vértices
e
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral tripla
, onde
é a região delimitada pelo tetraedro com vértices em
,
,
e
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integrável, especificamente sobre integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região
em termos de limites de integração e usar coordenadas cartesianas para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o tetraedro
. Ele tem quatro vértices:
-
: a origem. -
: no plano . -
: também no plano . -
: eleva-se ao longo do eixo até .
Observando esses pontos, vemos que o tetraedro está limitado no eixo
por
a
. Para cada valor de
, precisamos determinar os limites de
e, para cada
, os limites de
.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração:
-
Limites de
: Como os vértices têm variando de a , então varia de a . -
Limites de
para um dado : No plano , os pontos , e indicam que para um determinado , varia de a . -
Limites de
para um dado : Observando os vértices e , percebemos que, para cada , varia de a .
Portanto, os limites de integração são:
Passo 4
Agora que temos os limites de integração, podemos configurar a integral tripla. A ordem de integração será
,
e depois
. Assim, a integral fica:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, nossa integral se simplifica para:
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a
:
Agora, a integral restando é:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos cada termo separadamente:
Calculando cada integral:
Substituindo: