Questão 7: Calcule a integral trocando a ordem de integração:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
trocando a ordem de integração. O conteúdo usado aqui é o Teorema de Fubini para inverter a ordem numa região em
.
Passo 2
Primeiro vamos descrever a região de integração
. Ela é dada por
Para inverter, identificamos que, para um
fixo em
, a condição
equivale a
. Logo
varia de
até
e
de
até
.
Passo 3
Escrevendo a integral na ordem invertida, fica
Passo 4
Integramos primeiro em
, tratando
como constante:
Assim a integral reduz para
Passo 5
Fazemos a substituição
, de modo que
ou
. Os limites em
vão de
a
. Logo