Questão 7: Calcule a integral trocando a ordem de integração:
integral0^1 integralx^2^1 x^3 sen(y^3) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integralx=0^1integraly=x^2^1 x^3,sinl(y^3r),dy,dx
trocando a ordem de integração. O conteúdo usado aqui é o Teorema de Fubini para inverter a ordem numa região em (x,y).

Passo 2

Primeiro vamos descrever a região de integração D. Ela é dada por
D = (x,y)mid 0<= x<=1,;x^2<= y<=1
Para inverter, identificamos que, para um y fixo em [0,1], a condição x^2<= y equivale a 0<= x<= raizy. Logo y varia de 0 até 1 e x de 0 até raizy.

Passo 3

Escrevendo a integral na ordem invertida, fica
integraly=0^1integralx=0^raizy x^3,sinl(y^3r),dx,dy

Passo 4

Integramos primeiro em x, tratando sin(y^3) como constante:
integralx=0^raizy x^3,dx = l[tfracx^44r]0^raizy = (raizy)^44 = y^24
Assim a integral reduz para
integral0^1 y^24,sinl(y^3r),dy

Passo 5

Fazemos a substituição ;u = y^3, de modo que du = 3,y^2,dy ou y^2,dy = tfracdu3. Os limites em u vão de 0 a 1. Logo
integral0^1 y^24,sinl(y^3r),dy = 14integral0^1 y^2,sin(u),du3 = 112integral0^1sin(u),du = 112l[-cos(u)r]0^1 = 1 - cos(1)12

Resposta

1 - cos(1)12

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