Resolva as equações diferenciais abaixo usando o método dos fatores integrantes:
y^prime=7 y+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = 7y + 1
usando o método dos fatores integrantes. O conteúdo aqui é equações lineares de primeira ordem, e vamos precisar escrever a equação na forma padrão
y' + p(x),y = q(x)
e em seguida encontrar o fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão subtraindo 7y de ambos os lados:
y' - 7y = 1

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = expl(integral p(x),dxr)
onde aqui p(x) = -7. Logo
mu(x) = expl(integral -7,dxr) = e^-7x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão por mu(x)=e^-7x. Isso nos dá
e^-7xy' - 7e^-7xy = e^-7x
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y,e^-7x, ou seja,
ddxl(y,e^-7xr) = e^-7x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^-7x = integral e^-7x,dx = -tfrac17e^-7x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos y multiplicando por e^7x:
y = -tfrac17 + C,e^7x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = C,e^7x - 17,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados