Questão 2: Calcule o limite L, quando existir. Caso contrário, justifique.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+5 y{4}}{x{2}+y^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite L (quando existir) da função
\frac{x^{3}+5 y^{4}}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\rightarrow(0,0).
Informações dadas importantes:
\text{função: }f(x,y)=\frac{x^{3}+5 y^{4}}{x^{2}+y^{2}},\qquad\text{ponto de interesse: }(0,0).
Observação: em (0,0) o denominador x^{2}+y^{2} vale zero, então f não está definida no ponto; o que se pede é o limite quando nos aproximamos de (0,0).
Passo 2
Vou usar coordenadas polares porque, em problemas de limites em duas variáveis, é uma técnica comum para ver como a expressão depende somente da distância ao ponto e de uma possível dependência da direção. Expliquei o porquê: se, ao reescrever em polares, a expressão ficar em termos de r multiplicado por algo limitado em \theta, e esse r tende a zero, então o limite será zero independentemente da direção.
Definição das coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad r\ge 0.
Aqui r representa a distância do ponto (x,y) à origem e \theta é o ângulo (direção). Quando (x,y)\to(0,0) corresponde a r\to 0 (o ângulo \theta pode variar livremente).
Passo 3
Substituo x e y em termos de r e \theta na expressão e simplifico. Primeiro escrevo numerador e denominador:
Agora interpreto cada termo: \cos^{3}\theta e \sin^{4}\theta são funções de \theta que ficam limitadas entre valores finitos para todo \theta. Em particular