Questão 2: Calcule o limite L, quando existir. Caso contrário, justifique.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+5 y{4}}{x{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite L (quando existir) da função
\frac{x^{3}+5 y^{4}}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\rightarrow(0,0).
Informações dadas importantes:
\text{função: }f(x,y)=\frac{x^{3}+5 y^{4}}{x^{2}+y^{2}},\qquad\text{ponto de interesse: }(0,0).çã
Observação: em (0,0) o denominador x^{2}+y^{2} vale zero, então f não está definida no ponto; o que se pede é o limite quando nos aproximamos de (0,0).

Passo 2

Vou usar coordenadas polares porque, em problemas de limites em duas variáveis, é uma técnica comum para ver como a expressão depende somente da distância ao ponto e de uma possível dependência da direção. Expliquei o porquê: se, ao reescrever em polares, a expressão ficar em termos de r multiplicado por algo limitado em \theta, e esse r tende a zero, então o limite será zero independentemente da direção.
Definição das coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad r\ge 0.
Aqui r representa a distância do ponto (x,y) à origem e \theta é o ângulo (direção). Quando (x,y)\to(0,0) corresponde a r\to 0 (o ângulo \theta pode variar livremente).

Passo 3

Substituo x e y em termos de r e \theta na expressão e simplifico. Primeiro escrevo numerador e denominador:
x^{3}+5y^{4} = (r\cos\theta)^{3}+5(r\sin\theta)^{4}=r^{3}\cos^{3}\theta+5r^{4}\sin^{4}\theta.
x^{2}+y^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta = r^{2}.
Logo a razão fica
\frac{x^{3}+5y^{4}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r^{3}\cos^{3}\theta+5r^{4}\sin^{4}\theta}{r^{2}}.

Passo 4

Simplifico a expressão dividindo por r^{2} (válido para r>0, que é o caso quando nos aproximamos da origem sem estar exatamente nela):
\frac{r^{3}\cos^{3}\theta+5r^{4}\sin^{4}\theta}{r^{2}} = r\cos^{3}\theta + 5r^{2}\sin^{4}\theta.
Agora interpreto cada termo: \cos^{3}\theta e \sin^{4}\theta são funções de \theta que ficam limitadas entre valores finitos para todo \theta. Em particular
|\cos^{3}\theta|\le 1\qquad\text{e}\qquad |\sin^{4}\theta|\le 1.

Passo 5

Uso desigualdade para controlar o valor absoluto da expressão e aplicar uma versão do Teorema do Confronto (Squeeze Theorem):
\left|r\cos^{3}\theta + 5r^{2}\sin^{4}\theta\right| \le |r\cos^{3}\theta| + 5|r^{2}\sin^{4}\theta|.
Pelo que dissemos sobre os limites das funções trigonométricas,
|r\cos^{3}\theta|\le r\cdot 1 = r
e
5|r^{2}\sin^{4}\theta|\le 5 r^{2}\cdot 1 = 5r^{2}.
Portanto
\left|\frac{x^{3}+5y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\right| = \left|r\cos^{3}\theta + 5r^{2}\sin^{4}\theta\right| \le r + 5r^{2}.

Passo 6

Agora analiso o limite do lado direito quando r\to 0. Sabemos que
\lim_{r\to 0} r = 0\qquad\text{e}\qquad \lim_{r\to 0} 5r^{2}=0,
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\lim_{r\to 0} (r+5r^{2}) = 0.
Pelo Teorema do Confronto (se |g(x,y)|\le h(r) e h(r)\to 0 então g(x,y)\to 0), concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}+5y^{4}}{x^{2}+y^{2}} = 0.

Passo 7

Comentário extra (modo alternativo, para fixar a ideia): sem polares, podemos dividir o numerador em duas parcelas e estimar cada uma por separado:
\left|\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right| = |x|\cdot\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le |x|\to 0
quando (x,y)\to(0,0), e
\left|\frac{5y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\right| = 5y^{2}\cdot\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le 5y^{2}\to 0.
Somando as duas estimativas obtemos novamente que o módulo da fração tende a zero, reforçando o resultado anterior.

Resposta

L=0

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