Questão 1: Determine e esboce
a superficie de nivel da função f(x, y, z)=\sqrt{7-x-y-z}; se x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar e esboçar a superfície de nível da função f(x,y,z)=\sqrt{7-x-y-z} sujeita às restrições x\geq 0,\;y\geq 0,\;z\geq 0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x,y,z)=\sqrt{7-x-y-z}.
  • O domínio implicado (pela raiz e pelas restrições) exige que 7-x-y-z\ge 0 e x,y,z\ge 0.
  • Precisamos achar a superfície de nível (o conjunto de pontos onde f toma um valor fixo) e esboçá-la.

Passo 2

Definição prática de superfície de nível (mini-aula):
  • Para uma função de três variáveis f(x,y,z), a superfície de nível para um valor fixo c é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que f(x,y,z)=c.
  • Aqui, como f é uma raiz quadrada, c deve ser c\ge 0 (a raiz fornece valores não negativos).
    Aplicando essa definição ao nosso caso: comece impondo um nível genérico c\ge 0.

Passo 3

Calcule algebricamente a equação da superfície de nível para um c fixo:
f(x,y,z)=c \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{7-x-y-z}=c.
Eleve ambos os lados ao quadrado (atenção: como c\ge 0, essa operação é legítima sem introduzir soluções espúrias):
7 - x - y - z = c^{2}.
Reescrevendo,
x + y + z = 7 - c^{2}.
Portanto a superfície de nível f=c é a interseção do plano x+y+z=7-c^{2} com a região onde x,y,z\ge 0 e 7-x-y-z\ge 0.

Passo 4

Determinar valores possíveis de c (domínio dos níveis):
  • Pelo argumento da raiz temos 7-x-y-z\ge 0, logo x+y+z\le 7. Tomando pontos que satisfazem x+y+z=7-c^{2}, precisamos de 7-c^{2}\ge 0.
  • Logo c^{2}\le 7, isto é,
0 \le c \le \sqrt{7}.
  • Se c>\sqrt{7} a equação não tem pontos reais no domínio (conjunto vazio).
  • Se c=\sqrt{7} então x+y+z=0 com x,y,z\ge0 implica x=y=z=0 (apenas o ponto origem).
  • Se 0\le c<\sqrt{7} temos um plano com constante positiva 7-c^{2} cortando o primeiro octante.

Passo 5

Geometria e forma da superfície (mini-aula visual):
  • A equação \;x+y+z=7-c^{2}\; é a equação de um plano cujo vetor normal é (1,1,1). Isso significa que, à medida que c varia, obtemos uma família de planos paralelos.
  • Interceptos desse plano com os eixos podem ser lidos diretamente: colocando y=z=0 obtemos x=7-c^{2}; analogamente para os outros eixos. Então os interceptos são
(7-c^{2},0,0),\quad (0,7-c^{2},0),\quad (0,0,7-c^{2}).
  • A interseção desse plano com o primeiro octante x,y,z\ge0 é um triângulo (quando 7-c^{2}>0). Portanto cada superfície de nível é um triângulo plano (um pedaço do plano) com vértices nos três eixos. Para c=\sqrt{7} esse triângulo colapsa no ponto (0,0,0).

Passo 6

Casos notáveis e exemplo concreto (para fixar):
  • Caso c=0: \;x+y+z=7. O triângulo tem vértices (7,0,0),(0,7,0),(0,0,7). É o “fatiamento” mais exterior do tetraedro x,y,z\ge0,\;x+y+z\le7.
  • Caso c=1: \;x+y+z=6. O triângulo tem vértices (6,0,0),(0,6,0),(0,0,6) — é um plano paralelo ao anterior, mais perto da origem.
  • Caso c=\sqrt{7}: apenas o ponto (0,0,0).
  • Intuição: conforme c aumenta de 0 até \sqrt{7}, os triângulos ficam cada vez menores e se deslocam em direção à origem; isto é, o valor de f mede “quão longe” (no sentido ao longo da direção (1,1,1)) estamos do plano x+y+z=7.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (instrução prática para a prova):
  1. Desenhe os três eixos x,y,z num esboço em perspectiva simples (eixo x para a direita, y para trás à esquerda, z para cima).
  2. Para um nível escolhido c calcule a=7-c^{2}. Marque os pontos (a,0,0),(0,a,0),(0,0,a) sobre os eixos.
  3. Ligue esses três pontos para obter o triângulo plano que é a superfície de nível.
  4. Repita para alguns valores de c (por exemplo c=0,1,\sqrt{7}) para mostrar a família de triângulos paralelos que vão encolhendo até a origem.
    Dica: desenhar também o tetraedro x,y,z\ge0,\;x+y+z\le7 ajuda a ver que as superfícies de nível são “fatias” internas desse tetraedro.

Passo 8

Propriedade útil (distância do plano à origem) — para intuição geométrica:
  • A distância da origem ao plano \;x+y+z=7-c^{2}\; é
d=\frac{|7-c^{2}|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{7-c^{2}}{\sqrt{3}},
já que 7-c^{2}\ge 0. Isso mostra quantitativamente que quanto maior c, menor a distância do plano à origem.

Resposta

Para c\in[0,\sqrt{7}] a superfície de nível f(x,y,z)=c é
\{(x,y,z)\mid x+y+z=7-c^{2},\;x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0\},
que é um triângulo plano com vértices (7-c^{2},0,0),\;(0,7-c^{2},0),\;(0,0,7-c^{2}).
Para c>\sqrt{7} a superfície de nível é o conjunto vazio.

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