Questão 1: Determine e esboce
a superficie de nivel da função
; se
.
a superficie de nivel da função
Passo 1
O enunciado pede para determinar e esboçar a superfície de nível da função
sujeita às restrições
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - O domínio implicado (pela raiz e pelas restrições) exige que
e . - Precisamos achar a superfície de nível (o conjunto de pontos onde
toma um valor fixo) e esboçá-la.
Passo 2
Definição prática de superfície de nível (mini-aula):
- Para uma função de três variáveis
, a superfície de nível para um valor fixo é o conjunto de pontos tais que . - Aqui, como
é uma raiz quadrada, deve ser (a raiz fornece valores não negativos).
Aplicando essa definição ao nosso caso: comece impondo um nível genérico.
Passo 3
Calcule algebricamente a equação da superfície de nível para um
fixo:
Eleve ambos os lados ao quadrado (atenção: como
, essa operação é legítima sem introduzir soluções espúrias):
Reescrevendo,
Portanto a superfície de nível
é a interseção do plano
com a região onde
e
.
Passo 4
Determinar valores possíveis de
(domínio dos níveis):
- Pelo argumento da raiz temos
, logo . Tomando pontos que satisfazem , precisamos de . - Logo
, isto é,
- Se
a equação não tem pontos reais no domínio (conjunto vazio). - Se
então com implica (apenas o ponto origem). - Se
temos um plano com constante positiva cortando o primeiro octante.
Passo 5
Geometria e forma da superfície (mini-aula visual):
- A equação
é a equação de um plano cujo vetor normal é . Isso significa que, à medida que varia, obtemos uma família de planos paralelos. - Interceptos desse plano com os eixos podem ser lidos diretamente: colocando
obtemos ; analogamente para os outros eixos. Então os interceptos são
- A interseção desse plano com o primeiro octante
é um triângulo (quando ). Portanto cada superfície de nível é um triângulo plano (um pedaço do plano) com vértices nos três eixos. Para esse triângulo colapsa no ponto .
Passo 6
Casos notáveis e exemplo concreto (para fixar):
- Caso
: . O triângulo tem vértices . É o “fatiamento” mais exterior do tetraedro . - Caso
: . O triângulo tem vértices — é um plano paralelo ao anterior, mais perto da origem. - Caso
: apenas o ponto . - Intuição: conforme
aumenta de até , os triângulos ficam cada vez menores e se deslocam em direção à origem; isto é, o valor de mede “quão longe” (no sentido ao longo da direção ) estamos do plano .
Passo 7
Como esboçar passo a passo (instrução prática para a prova):
- Desenhe os três eixos
num esboço em perspectiva simples (eixo para a direita, para trás à esquerda, para cima). - Para um nível escolhido
calcule . Marque os pontos sobre os eixos. - Ligue esses três pontos para obter o triângulo plano que é a superfície de nível.
- Repita para alguns valores de
(por exemplo ) para mostrar a família de triângulos paralelos que vão encolhendo até a origem.
Dica: desenhar também o tetraedroajuda a ver que as superfícies de nível são “fatias” internas desse tetraedro.
Passo 8
Propriedade útil (distância do plano à origem) — para intuição geométrica:
- A distância da origem ao plano
é
já que
. Isso mostra quantitativamente que quanto maior
, menor a distância do plano à origem.
Resposta
Para
a superfície de nível
é
que é um triângulo plano com vértices
.
Para a superfície de nível é o conjunto vazio.
Para