Questão 3: Determine o valor de a, para que a função abaixo seja continua:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1-\cos (x y-2 y)}{(x-2)^{2}} ; \text { se }(x, y) \neq(2,1) \\\ a-8 ; \text { se }(x, y)=(2,1) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de a\) para que a função \[f(x, y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1-\cos (x y-2 y)}{(x-2)^{2}}, &\text{se }(x, y) \neq(2,1),\\[6pt] a-8, &\text{se }(x, y)=(2,1) \end{cases}
seja contínua em (2,1)\]. Informações relevantes dadas: a expressão para \(f(x,y) quando (x,y)\neq(2,1) e o valor fixo a-8 no ponto (2,1). Observação: eu vi a imagem enviada, mas ela está borrada e não traz informação necessária para resolver a questão, então não usei nenhum dado da imagem.]

Passo 2

O que significa "ser contínua em (2,1)"? Significa que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(2,1) deve existir e ser igual ao valor da função no ponto. Ou seja, precisamos ter
\lim_{(x,y)\to(2,1)} \frac{1-\cos(xy-2y)}{(x-2)^2} = a-8.
Portanto nosso objetivo imediato é calcular o limite à esquerda e depois igualar a a-8.

Passo 3

Simplificação da expressão dentro do cosseno: note que
xy-2y = y(x-2).
Isso é útil porque, quando (x,y)\to(2,1), o fator (x-2) tende a 0 e y tende a 1. Reescrevendo a função usando isso:
\frac{1-\cos(xy-2y)}{(x-2)^2} = \frac{1-\cos\big(y(x-2)\big)}{(x-2)^2}.

Passo 4

Usamos uma identidade trigonométrica padrão para transformar o numerador em algo mais manipulável:
1-\cos u = 2\sin^2\!\left(\frac{u}{2}\right).
Aplicando com u = y(x-2) obtemos
\frac{1-\cos\big(y(x-2)\big)}{(x-2)^2} = \frac{2\sin^2\!\left(\dfrac{y(x-2)}{2}\right)}{(x-2)^2}.

Passo 5

Agora fazemos uma fatoração útil que irá expor a forma clássica \dfrac{\sin t}{t}. Multiplicamos e dividimos pelo termo \left(\dfrac{y(x-2)}{2}\right)^2:
\frac{2\sin^2\!\left(\dfrac{y(x-2)}{2}\right)}{(x-2)^2} = 2\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{y(x-2)}{2}\right)}{\dfrac{y(x-2)}{2}}\right)^{\!2}\cdot \frac{\left(\dfrac{y(x-2)}{2}\right)^{\!2}}{(x-2)^2}.
Agora simplificamos a última fração:
\frac{\left(\dfrac{y(x-2)}{2}\right)^{\!2}}{(x-2)^2} = \frac{y^2}{4}.
Substituindo de volta:
\frac{1-\cos\big(y(x-2)\big)}{(x-2)^2} = \frac{y^2}{2}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{y(x-2)}{2}\right)}{\dfrac{y(x-2)}{2}}\right)^{\!2}.

Passo 6

Usamos agora um limite trigonométrico fundamental: \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1. Ao fazer (x,y)\to(2,1) temos (x-2)\to 0 e y\to 1, então o argumento \dfrac{y(x-2)}{2}\to 0. Assim
\lim_{(x,y)\to(2,1)} \left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{y(x-2)}{2}\right)}{\dfrac{y(x-2)}{2}}\right)^{\!2} = 1.
Além disso y^2\to 1^2=1. Portanto, tomando o limite da expressão completa,
\lim_{(x,y)\to(2,1)} \frac{1-\cos(xy-2y)}{(x-2)^2} = \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2}.

Passo 7

Voltando à condição de continuidade: precisamos que
a-8 = \frac{1}{2}.
Resolvendo para a,
a = 8 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{17}{2}

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