O enunciado pede: determinar o valor de a\) para que a função
\[f(x, y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1-\cos (x y-2 y)}{(x-2)^{2}}, &\text{se }(x, y) \neq(2,1),\\[6pt] a-8, &\text{se }(x, y)=(2,1) \end{cases}
seja contínua em (2,1)\]. Informações relevantes dadas: a expressão para \(f(x,y) quando (x,y)\neq(2,1) e o valor fixo a-8 no ponto (2,1). Observação: eu vi a imagem enviada, mas ela está borrada e não traz informação necessária para resolver a questão, então não usei nenhum dado da imagem.]
Passo 2
O que significa "ser contínua em (2,1)"? Significa que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(2,1) deve existir e ser igual ao valor da função no ponto. Ou seja, precisamos ter
Agora fazemos uma fatoração útil que irá expor a forma clássica \dfrac{\sin t}{t}. Multiplicamos e dividimos pelo termo \left(\dfrac{y(x-2)}{2}\right)^2:
Usamos agora um limite trigonométrico fundamental: \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1. Ao fazer (x,y)\to(2,1) temos (x-2)\to 0 e y\to 1, então o argumento \dfrac{y(x-2)}{2}\to 0. Assim