Questão 3: Calcule o limite L, quando existir. Caso contrário, justifique.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{4 y{7}}{\sqrt{4\left(x{2}+y^{2}\right)}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite (quando existir) da função quando (x,y) tende a (0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{4y^{7}}{\sqrt{4\left(x^{2}+y^{2}\right)}}.
Informações fornecidas que são relevantes:
  • O numerador é 4y^{7}.
  • O denominador é \sqrt{4\left(x^{2}+y^{2}\right)}.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,0).
    A pergunta clara é: esse limite existe? Se sim, qual é o valor L? Se não, justificar por que não existe.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão algébrica antes de pensar em caminhos. Note que a raiz quadrada do denominador pode ser simplificada:
\sqrt{4\left(x^{2}+y^{2}\right)} = 2\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Portanto a função dentro do limite é igual a
\frac{4y^{7}}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \frac{2y^{7}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Essa manipulação é só álgebra básica: retiramos o fator 4 da raiz como 2.

Passo 3

Uma estratégia natural para limites em (x,y) quando aparece \sqrt{x^{2}+y^{2}} é usar a coordenada radial
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
porque r mede a distância ao ponto (0,0). Vou explicar como e por que isso ajuda: se conseguimos escrever a função em termos de r e de um ângulo \theta, frequentemente fica evidente o comportamento quando r\to 0, já que o ângulo \theta permanece limitado.
Fazemos a substituição polar habitual:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta\in\mathbb{R}. Note que por definição r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Substituindo y = r\sin\theta e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} na expressão simplificada \dfrac{2y^{7}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, obtemos (mostro passo a passo):
\frac{2y^{7}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \frac{2\left(r\sin\theta\right)^{7}}{r}.
Aqui usei que y^{7}=(r\sin\theta)^{7} e que \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r.

Passo 5

Continuando o cálculo da expressão polar:
\frac{2\left(r\sin\theta\right)^{7}}{r} = 2\,\frac{r^{7}\sin^{7}\theta}{r} = 2\,r^{6}\sin^{7}\theta.
Portanto a função se escreve, em coordenadas polares, como
f(r,\theta)=2\,r^{6}\sin^{7}\theta.
Isso é muito bom: a dependência em r está explícita como r^{6} multiplicando algo que depende só de \theta.

Passo 6

Agora analiso o comportamento quando (x,y)\to(0,0). Esse movimento é equivalente a r\to 0^{+} (o ângulo \theta pode variar). Observe que \sin^{7}\theta é limitado: para todo \theta temos |\sin^{7}\theta|\le 1. Então o módulo da função satisfaz
\left|2\,r^{6}\sin^{7}\theta\right| \le 2\,r^{6}\cdot 1 = 2\,r^{6}.

Passo 7

Aplico agora o Teorema do Confronto (também chamado de Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem): se uma função g(r) satisfaz -h(r)\le g(r)\le h(r) e h(r)\to 0 quando r\to 0, então g(r)\to 0. Aqui, tomando g(r,\theta)=2\,r^{6}\sin^{7}\theta e h(r)=2\,r^{6}, temos |g(r,\theta)|\le h(r) e claramente
\lim_{r\to 0^{+}} 2\,r^{6} = 0.
Logo, pelo Teorema do Confronto, g(r,\theta)\to 0 quando r\to 0^{+}, independentemente de \theta.

Passo 8

Se quiser uma justificativa alternativa sem polar: observe que |y|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Então
\left|\frac{2y^{7}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right| = 2\frac{|y|^{7}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \le 2\frac{r^{7}}{r} = 2r^{6},
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Chegamos à mesma desigualdade de antes e, pela mesma razão (teorema do confronto), o limite é 0.

Passo 9

Conclusão: como a função em coordenadas polares tende a 0 quando r\to 0 de forma independente do ângulo, o limite existe e vale 0. Lembre-se: o ponto chave aqui foi mostrar que o módulo da função fica limitado por 2r^{6}, que vai para zero quando r\to 0. Isso prova que não há dependência de caminho que possa dar outro valor.

Resposta

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