Questão 3: Calcule o limite L, quando existir. Caso contrário, justifique.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x{3}}{x{2}+y}

Passo 1

Enunciado: calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}}{x^{2}+y}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+y}.
  • O domínio natural desta expressão exclui os pontos onde x^{2}+y=0 (pois aí a fração fica indefinida).
    Pergunta: existe um número L tal que f(x,y)\to L quando (x,y)\to(0,0)? Se sim, calcular L; se não, justificar por que não existe.

Passo 2

O que significa existir limite em duas variáveis (explicação didática): dizemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
se, para qualquer sequência \big((x_n,y_n)\big) com (x_n,y_n)\to(0,0) e com x_n^{2}+y_n\neq0 para todo n, os números f(x_n,y_n) tendem para L. Uma técnica prática e comum para testar existência de limite é calcular o valor de f ao longo de várias curvas (ou sequências) que se aproximam de (0,0): se encontrarmos duas curvas que dão limites diferentes, concluímos que o limite geral não existe. Vou usar essa técnica.

Passo 3

Teste em curvas simples: considere curvas do tipo y=kx^{2}, onde k é uma constante diferente de -1 (escolhemos k\neq-1 para evitar denominador zero). Substituindo,
\frac{x^{3}}{x^{2}+y}=\frac{x^{3}}{x^{2}+kx^{2}}=\frac{x^{3}}{x^{2}(1+k)}=\frac{x}{1+k}.
Quando x\to0 esta expressão tende para 0. Assim, ao longo de qualquer curva y=kx^{2} com k\neq-1, o limite é 0. Exemplo concreto: pela reta y=0 ( k=0) obtemos f(x,0)=x\to0.

Passo 4

Procurando uma curva que dê outro valor: tente escolher y de modo que o denominador tenha ordem x^{3}, para que a fração não se anule automaticamente. Uma escolha simples é
y=-x^{2}+x^{3}.
Verificar o que acontece: para x\neq0,
x^{2}+y=x^{2}+(-x^{2}+x^{3})=x^{3},
então
\frac{x^{3}}{x^{2}+y}=\frac{x^{3}}{x^{3}}=1.
Logo, ao aproximarmos (x,y) de (0,0) pela curva y=-x^{2}+x^{3} (isto é, tomando x\to0 e y=-x^{2}+x^{3}), a função vale exatamente 1 para todo x\neq0 pequeno, e portanto o limite ao longo dessa curva é 1.

Passo 5

Checagem da validade das curvas: ambas as curvas usadas fornecem pontos distintos de (0,0) e com denominador diferente de zero (no caso y=kx^{2} com k\neq-1, x^{2}+y=(1+k)x^{2}\neq0 para x\neq0; no caso y=-x^{2}+x^{3}, x^{2}+y=x^{3}\neq0 para x\neq0). Assim são caminhos válidos que se aproximam de (0,0).

Passo 6

Conclusão pelo contraste dos resultados: encontramos um caminho (por exemplo y=0) em que o limite é 0 e outro caminho (por exemplo y=-x^{2}+x^{3}) em que o limite é 1. Como os limites ao longo de caminhos diferentes não coincidem, o limite geral quando (x,y)\to(0,0) não pode existir.

Resposta

O limite L não existe.

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