Questão 3: Calcule o limite
, quando existir. Caso contrário, justifique.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x{3}}{x{2}+y}
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x{3}}{x{2}+y}
Passo 1
Enunciado: calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O domínio natural desta expressão exclui os pontos onde
(pois aí a fração fica indefinida).
Pergunta: existe um númerotal que quando ? Se sim, calcular ; se não, justificar por que não existe.
Passo 2
O que significa existir limite em duas variáveis (explicação didática): dizemos que
se, para qualquer sequência
com
e com
para todo
, os números
tendem para
. Uma técnica prática e comum para testar existência de limite é calcular o valor de
ao longo de várias curvas (ou sequências) que se aproximam de
: se encontrarmos duas curvas que dão limites diferentes, concluímos que o limite geral não existe. Vou usar essa técnica.
Passo 3
Teste em curvas simples: considere curvas do tipo
, onde
é uma constante diferente de
(escolhemos
para evitar denominador zero). Substituindo,
Quando
esta expressão tende para
. Assim, ao longo de qualquer curva
com
, o limite é
. Exemplo concreto: pela reta
(
) obtemos
.
Passo 4
Procurando uma curva que dê outro valor: tente escolher
de modo que o denominador tenha ordem
, para que a fração não se anule automaticamente. Uma escolha simples é
Verificar o que acontece: para
,
então
Logo, ao aproximarmos
de
pela curva
(isto é, tomando
e
), a função vale exatamente
para todo
pequeno, e portanto o limite ao longo dessa curva é
.
Passo 5
Checagem da validade das curvas: ambas as curvas usadas fornecem pontos distintos de
e com denominador diferente de zero (no caso
com
,
para
; no caso
,
para
). Assim são caminhos válidos que se aproximam de
.
Passo 6
Conclusão pelo contraste dos resultados: encontramos um caminho (por exemplo
) em que o limite é
e outro caminho (por exemplo
) em que o limite é
. Como os limites ao longo de caminhos diferentes não coincidem, o limite geral quando
não pode existir.
Resposta
O limite
não existe.