Questão 1. Calcule o limite, se existir. Caso não exista, justifique por quê. Não é permitida a utilização da Regra de L’Hospital nesta prova.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4^{x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite:
\lim_{x\to 0} \frac{4^{x}-1}{x}.
Informações dadas e objetivo claros:
  • A função no numerador é 4^{x}, com base 4>0.
  • Devemos estudar o comportamento da razão quando x se aproxima de 0.
  • Se o limite existir, encontrar o seu valor; se não existir, justificar por que não existe.

Passo 2

Primeira ideia útil (uma identidade básica de exponenciais): para qualquer a>0 vale
a^{x}=e^{x\ln a},
porque e^{\ln a}=a e a exponenciação respeita essa relação. Aplicando isso ao caso a=4 obtemos
4^{x}=e^{x\ln 4}.
Substituir 4^{x} por e^{x\ln 4} torna o limite mais manejável, porque conhecemos bem o comportamento de e^{t} perto de t=0.

Passo 3

Fazendo a substituição na expressão do limite:
\lim_{x\to 0}\frac{4^{x}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln 4}-1}{x}.
Agora faça a mudança de variável \;u = x\ln 4\;. Note que quando x\to 0 temos u\to 0 (porque \ln 4 é constante finita diferente de zero). Também temos x = \dfrac{u}{\ln 4}. Substituindo:
\frac{e^{x\ln 4}-1}{x} = \frac{e^{u}-1}{u/(\ln 4)} = \ln 4\cdot\frac{e^{u}-1}{u}.
Portanto o limite original transforma-se em
\lim_{x\to 0}\frac{4^{x}-1}{x} = \ln 4 \cdot \lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}.

Passo 4

Agora resta calcular \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}. Para isso usamos a expansão em série de Taylor (a série de Maclaurin) da função exponencial, que é um fato padrão e converge para todo u:
e^{u} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{u^{k}}{k!}=1+u+\frac{u^{2}}{2!}+\frac{u^{3}}{3!}+\cdots.
Subtraindo 1 e dividindo por u obtemos
\frac{e^{u}-1}{u}=1+\frac{u}{2!}+\frac{u^{2}}{3!}+\cdots.
Cada termo \dfrac{u^{n}}{(n+1)!} tende a 0 quando u\to 0 (para n\ge 1), então a soma inteira tende a 1. Portanto
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
(Em palavras: a razão entre e^{u}-1 e u aproxima-se de 1 porque o termo linear na expansão de e^{u} é exatamente u e os demais termos são de ordem superior em u.)

Passo 5

Voltando ao passo anterior, já que \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1, temos
\lim_{x\to 0}\frac{4^{x}-1}{x} = \ln 4 \cdot 1 = \ln 4.
Isso mostra que o limite existe e vale \ln 4.

Resposta

\ln 4

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