Questão 1. Calcule o limite, se existir. Caso não exista, justifique por quê. Não é permitida a utilização da Regra de L’Hospital nesta prova.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do seguinte limite:
Informações dadas e objetivo claros:
- A função no numerador é
, com base . - Devemos estudar o comportamento da razão quando
se aproxima de . - Se o limite existir, encontrar o seu valor; se não existir, justificar por que não existe.
Passo 2
Primeira ideia útil (uma identidade básica de exponenciais): para qualquer
vale
porque
e a exponenciação respeita essa relação. Aplicando isso ao caso
obtemos
Substituir
por
torna o limite mais manejável, porque conhecemos bem o comportamento de
perto de
.
Passo 3
Fazendo a substituição na expressão do limite:
Agora faça a mudança de variável
. Note que quando
temos
(porque
é constante finita diferente de zero). Também temos
. Substituindo:
Portanto o limite original transforma-se em
Passo 4
Agora resta calcular
. Para isso usamos a expansão em série de Taylor (a série de Maclaurin) da função exponencial, que é um fato padrão e converge para todo
:
Subtraindo
e dividindo por
obtemos
Cada termo
tende a
quando
(para
), então a soma inteira tende a
. Portanto
(Em palavras: a razão entre
e
aproxima-se de
porque o termo linear na expansão de
é exatamente
e os demais termos são de ordem superior em
.)
Passo 5
Voltando ao passo anterior, já que
, temos
Isso mostra que o limite existe e vale
.