1^a Questão: Calcule o limite, se existir:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2+x{2}}-\sqrt{2-x{2}}}{x^{2}}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: limx 0 raiz2+x^2-raiz2-x^2x^2. A matéria que envolve aqui é o cálculo de limites, especificamente lidando com raízes e frações. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de álgebra como a racionalização.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Uma boa estratégia é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de raiz2+x^2-raiz2-x^2 é raiz2+x^2+raiz2-x^2.

Passo 3

Então, multiplicamos:
raiz2+x^2-raiz2-x^2x^2 times raiz2+x^2+raiz2-x^2raiz2+x^2+raiz2-x^2

Passo 4

No numerador, usamos a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2:
(raiz2+x^2)^2 - (raiz2-x^2)^2 = (2 + x^2) - (2 - x^2) = 2x^2

Passo 5

Agora, nossa expressão fica:
2x^2x^2 ( raiz2+x^2+raiz2-x^2 ) = 2raiz2+x^2+raiz2-x^2

Passo 6

Finalmente, tiramos o limite quando x 0. Substituindo 0 na expressão:
2raiz2+0+raiz2-0 = 2raiz2 + raiz2 = 22raiz2 = 1raiz2 = raiz22

Resposta

O limite é raiz22.

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