Questão: Calcule o limite, se existir:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2+x{2}}-\sqrt{2-x{2}}}{x^{2}}
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2+x{2}}-\sqrt{2-x{2}}}{x^{2}}
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A matéria que envolve aqui é o cálculo de limites, especificamente lidando com raízes e frações. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de álgebra como a racionalização.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Uma boa estratégia é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de
é
.
Passo 3
Então, multiplicamos:
Passo 4
No numerador, usamos a identidade
:
Passo 5
Agora, nossa expressão fica:
Passo 6
Finalmente, tiramos o limite quando
. Substituindo 0 na expressão:
Resposta
O limite é
.