1^a Questão: Calcule o limite, se existir:
\lim _{x \rightarrow 0} x^{4} \cos \left(\frac{\pi}{x}\right) .

Passo 1

Vamos resolver o limite limx 0 x^4 cos(pix). Esse problema envolve o estudo de limites e funções oscilatórias. Para resolver, vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeeze) que nos ajuda quando a função está “presada” entre duas outras funções cujo limite conhecemos.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a função cosseno sempre oscila entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= cos(pix) <= 1

Passo 3

Agora, multiplicamos todos os termos pela x^4, lembrando que x^4 é sempre positivo:
-x^4 <= x^4 cos(pix) <= x^4

Passo 4

Sabemos que à medida que x se aproxima de 0, x^4 também se aproxima de 0. Portanto, temos:
limx 0 -x^4 = 0 e limx 0 x^4 = 0

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, se uma função está entre duas funções que têm o mesmo limite, então o limite dessa função também é igual a esse valor. Assim:
limx 0 x^4 cos(pix) = 0

Resposta

O limite é 0.

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