Questão: Calcule o limite, se existir:
\lim _{x \rightarrow 0} x^{4} \cos \left(\frac{\pi}{x}\right) .
\lim _{x \rightarrow 0} x^{4} \cos \left(\frac{\pi}{x}\right) .
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse problema envolve o estudo de limites e funções oscilatórias. Para resolver, vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeeze) que nos ajuda quando a função está “presada” entre duas outras funções cujo limite conhecemos.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a função cosseno sempre oscila entre -1 e 1, ou seja:
Passo 3
Agora, multiplicamos todos os termos pela
, lembrando que
é sempre positivo:
Passo 4
Sabemos que à medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Portanto, temos:
Passo 5
Pelo Teorema do Confronto, se uma função está entre duas funções que têm o mesmo limite, então o limite dessa função também é igual a esse valor. Assim:
Resposta
O limite é 0.