Questão: Calcule o limite, se existir:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-3 x+2}
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-3 x+2}
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando
se aproxima de 2 da expressão
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra, principalmente fatoração de polinômios, que nos ajudarão a simplificar a expressão e encontrar o valor do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador da fração. Fatorar significa escrever um polinômio como o produto de dois ou mais polinômios de menor grau.
No numerador:
Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3.
Então,
No denominador:
Aqui, procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2.
Então,
Passo 3
Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
A gente nota que o termo
aparece tanto no numerador quanto no denominador. Isso significa que podemos simplificar a fração, desde que
não seja igual a 2 (porque aí estaríamos dividindo por zero, o que não é permitido).
Simplificando:
Passo 4
Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo
por 2 diretamente na fração simplificada:
Resposta
O limite é igual a
.