1^a Questão: Calcule o limite, se existir:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-3 x+2}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando x se aproxima de 2 da expressão x^2-5x+6x^2-3x+2. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra, principalmente fatoração de polinômios, que nos ajudarão a simplificar a expressão e encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador da fração. Fatorar significa escrever um polinômio como o produto de dois ou mais polinômios de menor grau.
No numerador: x^2 - 5x + 6
Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3.
Então, x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
No denominador: x^2 - 3x + 2
Aqui, procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2.
Então, x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

Passo 3

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
x^2-5x+6x^2-3x+2 = (x - 2)(x - 3)(x - 1)(x - 2)
A gente nota que o termo (x - 2) aparece tanto no numerador quanto no denominador. Isso significa que podemos simplificar a fração, desde que x não seja igual a 2 (porque aí estaríamos dividindo por zero, o que não é permitido).
Simplificando:
(x - 2)(x - 3)(x - 1)(x - 2) = x - 3x - 1

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo x por 2 diretamente na fração simplificada:
limx to 2 x - 3x - 1 = 2 - 32 - 1 = -11 = -1

Resposta

O limite é igual a -1.

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