Questão: Seja
(a) Determine o ponto do gráfico de
em que a reta tangente, nesse ponto, seja paralela ao eixo
. (Use a definição e propriedade de
.)
(b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
(c) Esboce o gráfico de
.
(b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
(c) Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função
e pede para a gente trabalhar com derivadas para encontrar algumas informações sobre o gráfico dessa função. Vamos precisar entender como calcular a derivada da função, interpretar o que ela representa (como a inclinação da reta tangente) e usar essas informações para achar pontos específicos e equações de retas tangentes.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a): determinar o ponto no gráfico de
onde a reta tangente é paralela ao eixo
.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
A função é:
Calculando a derivada:
Agora, para que a reta tangente seja paralela ao eixo
, a inclinação dela deve ser zero. Ou seja, precisamos resolver:
Vamos resolver essa equação:
Agora, encontramos o valor de
. Para achar o ponto, vamos calcular
:
Então, o ponto onde a reta tangente é paralela ao eixo
é:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): determinar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Primeiro, calculamos
:
Então, o ponto é
.
Em seguida, calculamos a derivada em
:
A inclinação da reta tangente nesse ponto é
.
Agora, usamos a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Substituindo
e
:
Então, a equação da reta tangente no ponto
é:
Passo 4
Finalmente, na parte (c), precisamos esboçar o gráfico da função
.
Para isso, analisamos alguns pontos importantes e o comportamento da função:
- Domínio:
, pois a função não está definida para . - Intercepto com o eixo
: Não existe, já que não há valor de que faça . - Comportamento para
positivo: A função tende ao infinito conforme aumenta e tende a quando se aproxima de zero pela direita. - Comportamento para
negativo: A função também tende ao infinito conforme aumenta, mas se aproxima de quando se aproxima de zero pela esquerda. - Pontos críticos: Como vimos na parte (a), há um ponto onde a reta tangente é paralela ao eixo
.
Com base nessas informações, o gráfico terá duas partes separadas pelo eixo
, com comportamentos diferentes para
positivo e negativo.
Resposta
(a) O ponto onde a reta tangente é paralela ao eixo
é
.
(b) A equação da reta tangente no ponto
é
.
(c) O gráfico de
apresenta duas partes: uma para
e outra para
, com a função tendendo ao infinito em ambas as direções e não estando definida em
.