4^a Questão: Seja
f(x)=x^2+1x
(a) Determine o ponto do gráfico de f em que a reta tangente, nesse ponto, seja paralela ao eixo x. (Use a definição e propriedade de f^prime(x).)
(b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (-1, f(-1)).
(c) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função f(x) = x^2 + 1x e pede para a gente trabalhar com derivadas para encontrar algumas informações sobre o gráfico dessa função. Vamos precisar entender como calcular a derivada da função, interpretar o que ela representa (como a inclinação da reta tangente) e usar essas informações para achar pontos específicos e equações de retas tangentes.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): determinar o ponto no gráfico de f onde a reta tangente é paralela ao eixo x .
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de f(x) , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto x .
A função é:
f(x) = x^2 + 1x
Calculando a derivada:
f'(x) = ddx(x^2) + ddx(1x) = 2x - 1x^2
Agora, para que a reta tangente seja paralela ao eixo x , a inclinação dela deve ser zero. Ou seja, precisamos resolver:
f'(x) = 0 Rightarrow 2x - 1x^2 = 0
Vamos resolver essa equação:
2x = 1x^2 2x^3 = 1 x^3 = 12 x = raiz[3]12 = 12^1/3
Agora, encontramos o valor de x . Para achar o ponto, vamos calcular f(x) :
f(12^1/3) = (12^1/3)^2 + 112^1/3 = 12^2/3 + 2^1/3
Então, o ponto onde a reta tangente é paralela ao eixo x é:
(12^1/3, 12^2/3 + 2^1/3)

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (-1, f(-1)) .
Primeiro, calculamos f(-1) :
f(-1) = (-1)^2 + 1-1 = 1 - 1 = 0
Então, o ponto é (-1, 0) .
Em seguida, calculamos a derivada em x = -1 :
f'(-1) = 2(-1) - 1(-1)^2 = -2 - 1 = -3
A inclinação da reta tangente nesse ponto é -3 .
Agora, usamos a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo (x0, y0) = (-1, 0) e m = -3 :
y - 0 = -3(x - (-1)) y = -3(x + 1) y = -3x - 3
Então, a equação da reta tangente no ponto (-1, 0) é:
y = -3x - 3

Passo 4

Finalmente, na parte (c), precisamos esboçar o gráfico da função f(x) = x^2 + 1x .
Para isso, analisamos alguns pontos importantes e o comportamento da função:
  • Domínio: x neq 0 , pois a função não está definida para x = 0 .
  • Intercepto com o eixo y : Não existe, já que não há valor de x que faça f(x) = 0 .
  • Comportamento para x positivo: A função tende ao infinito conforme x aumenta e tende a +infty quando x se aproxima de zero pela direita.
  • Comportamento para x negativo: A função também tende ao infinito conforme |x| aumenta, mas se aproxima de -infty quando x se aproxima de zero pela esquerda.
  • Pontos críticos: Como vimos na parte (a), há um ponto onde a reta tangente é paralela ao eixo x .
Com base nessas informações, o gráfico terá duas partes separadas pelo eixo y , com comportamentos diferentes para x positivo e negativo.

Resposta

(a) O ponto onde a reta tangente é paralela ao eixo x é (12^1/3, 12^2/3 + 2^1/3) .
(b) A equação da reta tangente no ponto (-1, 0) é y = -3x - 3 .
(c) O gráfico de f(x) = x^2 + 1x apresenta duas partes: uma para x > 0 e outra para x < 0 , com a função tendendo ao infinito em ambas as direções e não estando definida em x = 0 .

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