Questão 4: Determine se existe ou não f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} onde
f(x)= \begin{cases}x^{2} & \text { se } x \geq 0 \\\ x^{1 / 3} & \text { se } x<0\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se existe ou não \displaystyle f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}\), onde a função \(f\) é dada por: \[f(x)= \begin{cases}x^{2} & \text{se } x \ge 0, \\[4pt] x^{1/3} & \text{se } x<0.\end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição do derivada em 0\] é o limite \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}.
  • A função é dada por duas expressões diferentes à esquerda e à direita de 0.
  • Precisamos usar essas expressões para calcular o quociente incremental quando x se aproxima de 0 pela direita ( x\to 0^+) e pela esquerda ( x\to 0^-).]

Passo 2

Calcular f(0) usando a definição da função no ponto 0. Como 0\ge 0, usamos o ramo x^{2}. Portanto,
f(0)=0^{2}=0.
Isso é importante porque na fórmula do quociente \dfrac{f(x)-f(0)}{x} vamos sempre subtrair 0.

Passo 3

Entender a existência da derivada por meio dos limites laterais. A derivada \displaystyle f'(0) existe se, e somente se, os limites laterais
\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x}
existirem, forem finitos e iguais. Vou calcular cada um separadamente.

Passo 4

Calcular o limite pela direita ( x\to 0^+). Para x>0 usamos f(x)=x^{2} e já vimos f(0)=0. Então o quociente é
\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{x^{2}-0}{x}=x.
Agora tomamos o limite quando x\to 0^+:
\lim_{x\to 0^+} x = 0.
Explicação didática: quando x é pequeno e positivo (por exemplo x=0{,}1, x=0{,}01), o valor de x tende a 0; portanto o quociente tende a 0. Assim o limite pela direita é 0.

Passo 5

Calcular o limite pela esquerda ( x\to 0^-). Para x<0 usamos f(x)=x^{1/3}. O quociente é
\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{x^{1/3}-0}{x}=x^{1/3}\cdot x^{-1}=x^{-2/3}.
É útil reescrever usando valor absoluto para ver o sinal: para x<0 a raiz cúbica x^{1/3} é negativa e x também é negativa, então a razão é positiva; mais formalmente
x^{-2/3}=\frac{1}{(x^{2/3})}=\frac{1}{\bigl(|x|\bigr)^{2/3}}>0.
Agora o limite quando x\to 0^- é
\lim_{x\to 0^-} x^{-2/3} = +\infty,
porque \bigl(|x|\bigr)^{2/3} tende a 0 quando x\to 0, e 1/\bigl(|x|\bigr)^{2/3} então cresce sem limite. Exemplo numérico: para x=-0{,}001 temos x^{1/3}\approx -0{,}1 e o quociente (-0{,}1)/(-0{,}001)=100, um número grande — e quanto mais perto de zero, maior fica.

Passo 6

Comparação dos limites laterais calculados:
\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=0,
\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x}=+\infty.
Os dois limites laterais não são ambos finitos e iguais (um é 0, o outro diverge para +\infty). Isso significa que o limite de \dfrac{f(x)-f(0)}{x} quando x\to 0 não existe como um número real.

Resposta

Não existe f'(0).

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