Questão 4: Determine se existe ou não
onde
Passo 1
O enunciado pede para determinar se existe ou não
Informações relevantes fornecidas:
- A definição do derivada em .
- A função é dada por duas expressões diferentes à esquerda e à direita de
. - Precisamos usar essas expressões para calcular o quociente incremental quando
se aproxima de pela direita ( ) e pela esquerda ( ).]
Passo 2
Calcular
usando a definição da função no ponto
. Como
, usamos o ramo
. Portanto,
Isso é importante porque na fórmula do quociente
vamos sempre subtrair
.
Passo 3
Entender a existência da derivada por meio dos limites laterais. A derivada
existe se, e somente se, os limites laterais
existirem, forem finitos e iguais. Vou calcular cada um separadamente.
Passo 4
Calcular o limite pela direita (
). Para
usamos
e já vimos
. Então o quociente é
Agora tomamos o limite quando
:
Explicação didática: quando
é pequeno e positivo (por exemplo
,
), o valor de
tende a
; portanto o quociente tende a
. Assim o limite pela direita é
.
Passo 5
Calcular o limite pela esquerda (
). Para
usamos
. O quociente é
É útil reescrever usando valor absoluto para ver o sinal: para
a raiz cúbica
é negativa e
também é negativa, então a razão é positiva; mais formalmente
Agora o limite quando
é
porque
tende a
quando
, e
então cresce sem limite. Exemplo numérico: para
temos
e o quociente
, um número grande — e quanto mais perto de zero, maior fica.
Passo 6
Comparação dos limites laterais calculados:
Os dois limites laterais não são ambos finitos e iguais (um é
, o outro diverge para
). Isso significa que o limite de
quando
não existe como um número real.
Resposta
Não existe
.