2^a Questão: Considere a função
f(x)=raiz2 x^2+1x-3
(a) Determine a assíntota vertical do gráfico da função f.
(b) Calcule
lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x)
(c) Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão trata de funções e suas características gráficas, especificamente sobre assíntotas e limites. Vamos precisar entender conceitos de assíntotas verticais e limites no infinito para analisar a função f(x) = raiz2x^2 + 1x - 3 .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a assíntota vertical da função. Assíntotas verticais acontecem quando o denominador da função se aproxima de zero, fazendo a função crescer sem limites.
Para a nossa função, o denominador é x - 3 . Vamos resolver x - 3 = 0 :
x - 3 = 0 implies x = 3
Então, x = 3 é onde o denominador se anula, indicando uma assíntota vertical.

Passo 3

Agora, vamos calcular os limites da função f(x) quando x tende a +infty e -infty . Esses limites nos ajudam a entender o comportamento da função no infinito e a encontrar as assíntotas horizontais.
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raiz2x^2 + 1
Quando x tende ao infinito, o termo dominante é 2x^2 , então podemos aproximar a raiz por:
raiz2x^2 + 1 approx raiz2x^2 = raiz2 cdot |x|
Agora, substituímos na função:
f(x) approx raiz2 cdot |x|x - 3
Para x tendendo a +infty :
|x| = x implies f(x) approx raiz2 cdot xx = raiz2
Então,
limx +infty f(x) = raiz2
Para x tendendo a -infty :
|x| = -x implies f(x) approx raiz2 cdot (-x)x = -raiz2
Então,
limx -infty f(x) = -raiz2

Passo 4

Com as informações anteriores, podemos esboçar o gráfico da função f(x) . Sabemos que:
  • Há uma assíntota vertical em x = 3 .
  • Há uma assíntota horizontal em y = raiz2 quando x tende a +infty e em y = -raiz2 quando x tende a -infty .
Isso significa que o gráfico da função se aproxima dessas linhas assintóticas conforme x vai para os extremos, mas nunca as toca.

Resposta

(a) A assíntota vertical da função f(x) = raiz2x^2 + 1x - 3 é x = 3 .
(b)
limx +infty f(x) = raiz2
e
limx -infty f(x) = -raiz2
(c) O esboço do gráfico de f(x) apresenta uma assíntota vertical em x = 3 e assíntotas horizontais em y = raiz2 e y = -raiz2 .

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