Questão: Considere a função
(a) Determine a assíntota vertical do gráfico da função
.
(b) Calcule
(c) Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de
.
(b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão trata de funções e suas características gráficas, especificamente sobre assíntotas e limites. Vamos precisar entender conceitos de assíntotas verticais e limites no infinito para analisar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a assíntota vertical da função. Assíntotas verticais acontecem quando o denominador da função se aproxima de zero, fazendo a função crescer sem limites.
Para a nossa função, o denominador é
. Vamos resolver
:
Então,
é onde o denominador se anula, indicando uma assíntota vertical.
Passo 3
Agora, vamos calcular os limites da função
quando
tende a
e
. Esses limites nos ajudam a entender o comportamento da função no infinito e a encontrar as assíntotas horizontais.
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Quando
tende ao infinito, o termo dominante é
, então podemos aproximar a raiz por:
Agora, substituímos na função:
Para
tendendo a
:
Então,
Para
tendendo a
:
Então,
Passo 4
Com as informações anteriores, podemos esboçar o gráfico da função
. Sabemos que:
- Há uma assíntota vertical em
. - Há uma assíntota horizontal em
quando tende a e em quando tende a .
Isso significa que o gráfico da função se aproxima dessas linhas assintóticas conforme
vai para os extremos, mas nunca as toca.
Resposta
(a) A assíntota vertical da função
é
.
(b)
e
(c) O esboço do gráfico de
apresenta uma assíntota vertical em
e assíntotas horizontais em
e
.