(1,25 pontos) Calcule a área da região limitada pelas curvas y=x^{3}-9 x e y=x^{2}-3 x.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas curvas y=x^{3}-9x e y=x^{2}-3x.
Informações fornecidas:
  • Primeira curva: y=x^{3}-9x.
  • Segunda curva: y=x^{2}-3x.
  • A área pedida é a região delimitada por essas duas curvas (região finita determinada pelas interseções delas).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de maneira prática): a área entre duas curvas, em termos de x, é dada por integrar a diferença “curva superior menos curva inferior” ao longo do intervalo em x onde elas se intersectam. Em fórmula:
\text{área}=\int_{a}^{b}\big(\text{superior}(x)-\text{inferior}(x)\big)\,dx,á
onde a e b são os pontos de interseção em x. Se as curvas trocam de posição (a superior muda), dividimos o intervalo em subintervalos onde a ordem é fixa e somamos as integrais. Isso corresponde a usar o módulo da diferença:
\text{área}=\int_{a}^{b}\big|y_1(x)-y_2(x)\big|\,dx.á
Aqui cada termo significa:
  • y_1(x),y_2(x): as funções dadas;
  • a,b: abscissas dos pontos de interseção;
  • a integral soma as “fatias” verticais de largura dx e altura (superior-inferior).

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção (valores de x onde as curvas se cruzam). Igualamos as duas funções:
x^{3}-9x = x^{2}-3x.
Passo a passo:
x^{3}-9x - (x^{2}-3x)=0 \quad\Rightarrow\quad x^{3}-x^{2}-6x=0.
Fatorando:
x^{3}-x^{2}-6x = x\big(x^{2}-x-6\big) = x(x-3)(x+2)=0.
Portanto as soluções são
x=-2,\quad x=0,\quad x=3.
Para referência, os pontos de interseção (abscissa e ordenada) são:
(-2,\,10),\quad (0,\,0),\quad (3,\,0),
pois, por exemplo, ao substituir x=-2 nas funções obtém-se y=10, e em x=0 e x=3 ambas valem 0.

Passo 4

Determinar qual curva está acima em cada subintervalo formado pelas abscissas -2,0,3.
Definimos a diferença
f(x)=\big(x^{3}-9x\big)-\big(x^{2}-3x\big)=x^{3}-x^{2}-6x = x(x-3)(x+2).
O sinal de f(x) diz se a cúbica ( y=x^{3}-9x) está acima ( f(x)>0) ou abaixo ( f(x)<0) da quadrática ( y=x^{2}-3x).
Analisando os intervalos determinados pelas raízes:
  • Para -2<x<0: tomamos um ponto teste, por exemplo x=-1. f(-1)=(-1)(-4)(1)=4>0. Logo, para x\in(-2,0) a cúbica está acima da quadrática.
  • Para 0<x<3: tomamos x=1. f(1)=1\cdot(-2)\cdot3=-6<0. Logo, para x\in(0,3) a cúbica está abaixo da quadrática.
Conclusão prática: a região limitada é formada por duas “folhas” entre -2 e 0 (com cúbica acima) e entre 0 e 3 (com quadrática acima).

Passo 5

Montar a integral da área, dividida conforme as posições das curvas:
\text{área}=\int_{-2}^{0}\big[(x^{3}-9x)-(x^{2}-3x)\big]\,dx \;+\; \int_{0}^{3}\big[(x^{2}-3x)-(x^{3}-9x)\big]\,dx.á
Simplificando o integrando em cada caso (ambos resultam na mesma expressão em módulo):
(x^{3}-9x)-(x^{2}-3x)=x^{3}-x^{2}-6x=f(x),
(x^{2}-3x)-(x^{3}-9x)=-\big(x^{3}-x^{2}-6x\big)=-f(x).
Logo
\text{área}=\int_{-2}^{0}f(x)\,dx - \int_{0}^{3}f(x)\,dx,á
porque f(x) é positivo no primeiro intervalo e negativo no segundo (subtraímos o valor negativo para obter área positiva).

Passo 6

Calcular uma primitiva de f(x)=x^{3}-x^{2}-6x. Integramos termo a termo:
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4},\qquad \int -x^{2}\,dx=-\frac{x^{3}}{3},\qquad \int -6x\,dx=-3x^{2}.
Portanto uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}-3x^{2}.

Passo 7

Avaliar as integrais com F(x).
Primeira integral ( -2 a 0):
\int_{-2}^{0}f(x)\,dx = F(0)-F(-2).
Calcule F(0)=0. Agora F(-2):
F(-2)=\frac{(-2)^{4}}{4}-\frac{(-2)^{3}}{3}-3(-2)^{2} = \frac{16}{4}-\frac{-8}{3}-3\cdot4 =4+\frac{8}{3}-12.
Fazendo as contas com frações:
4-12=-8,\qquad -8+\frac{8}{3} = -\frac{24}{3}+\frac{8}{3}=-\frac{16}{3}.
Portanto F(-2)=-\dfrac{16}{3} e
\int_{-2}^{0}f(x)\,dx = 0 -\left(-\frac{16}{3}\right)=\frac{16}{3}.
Segunda integral ( 0 a 3):
\int_{0}^{3}f(x)\,dx = F(3)-F(0)=F(3)-0=F(3).
Calcule F(3):
F(3)=\frac{3^{4}}{4}-\frac{3^{3}}{3}-3\cdot3^{2} =\frac{81}{4}-\frac{27}{3}-27 =\frac{81}{4}-9-27.
Somando -9-27=-36, então
F(3)=\frac{81}{4}-36=\frac{81-144}{4}=-\frac{63}{4}.
Portanto \int_{0}^{3}f(x)\,dx=-\dfrac{63}{4}. Lembre que nesta parte f(x) é negativo, então a contribuição positiva para a área é o negativo desta integral:
-\int_{0}^{3}f(x)\,dx = -\left(-\frac{63}{4}\right)=\frac{63}{4}.

Passo 8

Somar as duas contribuições para obter a área total:
\text{área}=\frac{16}{3}+\frac{63}{4}.á
Somando frações com denominador comum 12:
\frac{16}{3}=\frac{64}{12},\qquad \frac{63}{4}=\frac{189}{12},
\text{área}=\frac{64}{12}+\frac{189}{12}=\frac{253}{12}.á
Essa é a área exata da região pedida.

Resposta

\dfrac{253}{12}

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