(1,25 pontos) Calcule a área da região limitada pelas curvas y=x^{3}-9 x e y=x^{2}-3 x.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas curvas y=x^{3}-9x e y=x^{2}-3x.
Informações fornecidas:
Primeira curva: y=x^{3}-9x.
Segunda curva: y=x^{2}-3x.
A área pedida é a região delimitada por essas duas curvas (região finita determinada pelas interseções delas).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado de maneira prática): a área entre duas curvas, em termos de x, é dada por integrar a diferença “curva superior menos curva inferior” ao longo do intervalo em x onde elas se intersectam. Em fórmula:
onde a e b são os pontos de interseção em x. Se as curvas trocam de posição (a superior muda), dividimos o intervalo em subintervalos onde a ordem é fixa e somamos as integrais. Isso corresponde a usar o módulo da diferença:
Portanto \int_{0}^{3}f(x)\,dx=-\dfrac{63}{4}. Lembre que nesta parte f(x) é negativo, então a contribuição positiva para a área é o negativo desta integral: