Questão 4. Calcule os limites abaixo, se existirem e, caso não exista, justifique:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2} e^{x}}{y^{4}+4 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y^{2}\,e^{x}}{y^{4}+4x^{2}}.
O conteúdo é análise de limites de funções de duas variáveis e vamos usar o teste por caminhos para ver se o valor é único.

Passo 2

Escolhemos o caminho x=0. Substituindo em \displaystyle f(x,y)=\frac{x\,y^{2}\,e^{x}}{y^{4}+4x^{2}}
vem \displaystyle f(0,y)=\frac{0\cdot y^{2}\,e^{0}}{y^{4}+0}=0.
Logo, ao longo de x=0, o limite vale 0.

Passo 3

Escolhemos agora o caminho x=y^{2}. Substituindo em f
f(y^{2},y) =\frac{y^{2}\cdot y^{2}\,e^{y^{2}}}{y^{4}+4(y^{2})^{2}} =\frac{y^{4}e^{y^{2}}}{y^{4}+4y^{4}} =\frac{y^{4}e^{y^{2}}}{5y^{4}} =\frac{e^{y^{2}}}{5}.
Fazendo y\to0 obtemos \tfrac{e^{0}}{5}= \tfrac{1}{5}.

Passo 4

Vimos que pelo caminho x=0 o limite é 0 e pelo caminho x=y^{2} é \tfrac{1}{5}. Como esses valores são diferentes, o limite não pode existir.

Resposta

O limite não existe.

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