Exercício 2 [25 pontos]: Use o teorema de campo conservativo para calcular a integral do campo vetorial
ao longo da curva
obtida como interseção da superfície pela parte superior do elipsóide
, com o plano
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha de
sobre a curva
que é a interseção da parte superior do elipsóide
com o plano
. Vamos usar o Teorema de Campo Conservativo: se
é conservativo num domínio simplesmente conexo, então sobre qualquer curva fechada
vale
Passo 2
Calculamos o rotacional
. Usando
temos
Logo
.
Passo 3
Como
em
, que é simplesmente conexo, concluímos que
é um campo conservativo.
Passo 4
Em particular, qualquer integral de linha de
sobre uma curva fechada
se anula pela Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos: