Exercício 2 [25 pontos]: Use o teorema de campo conservativo para calcular a integral do campo vetorial
\boldsymbol{F}(x, y, z)=\left(y z+x^{2}, x z+3 y^{2}, x y\right)
ao longo da curva C obtida como interseção da superfície pela parte superior do elipsóide \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1, z \geq 0, com o plano y=1.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de
\boldsymbol{F}(x,y,z) = (\,yz + x^2,\; xz + 3y^2,\; xy\,)
sobre a curva C que é a interseção da parte superior do elipsóide
\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} + z^2 = 1,\quad z\ge0
com o plano y=1. Vamos usar o Teorema de Campo Conservativo: se \boldsymbol{F} é conservativo num domínio simplesmente conexo, então sobre qualquer curva fechada C vale
\oint_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = 0.

Passo 2

Calculamos o rotacional \nabla\times\boldsymbol{F}. Usando
\nabla\times\boldsymbol{F} = \Bigl(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Bigr)
temos
\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{\partial (xy)}{\partial y} - \frac{\partial (xz+3y^2)}{\partial z} = x - x = 0,
\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} = \frac{\partial (yz+x^2)}{\partial z} - \frac{\partial (xy)}{\partial x} = y - y = 0,
\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial (xz+3y^2)}{\partial x} - \frac{\partial (yz+x^2)}{\partial y} = z - z = 0.
Logo \nabla\times\boldsymbol{F} = (0,0,0).

Passo 3

Como \nabla\times\boldsymbol{F}=0 em \mathbb{R}^3, que é simplesmente conexo, concluímos que \boldsymbol{F} é um campo conservativo.

Passo 4

Em particular, qualquer integral de linha de \boldsymbol{F} sobre uma curva fechada C se anula pela Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos:
\oint_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = 0.

Resposta

0

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