Use a identidade fundamental e as definições das funções tan e sec para mostrar a identidade 1+tan ^2(t)=sec ^2(t), para todo t in R.

Passo 1

Estamos querendo mostrar a identidade trigonométrica 1 + tan^2(t) = sec^2(t). O conteúdo aqui é a identidade pitagórica básica e as definições de tan e sec. Vamos usar a relação sin^2(t) + cos^2(t) = 1 e lembrar que tan(t) = sin(t)cos(t) e sec(t) = 1cos(t).

Passo 2

A partir da identidade pitagórica, escrevemos em bloco:
sin^2(t) + cos^2(t) = 1

Passo 3

Como queremos envolver tan^2(t) e sec^2(t), dividimos cada termo da identidade por cos^2(t) (supondo cos(t) neq 0, que é onde tan e sec estão definidas):
sin^2(t)cos^2(t) + cos^2(t)cos^2(t) = 1cos^2(t)

Passo 4

Agora reconhecemos as definições: sin^2(t)cos^2(t) = tan^2(t), cos^2(t)cos^2(t) = 1 e 1cos^2(t) = sec^2(t). Assim a equação fica:
tan^2(t) + 1 = sec^2(t)

Passo 5

Reordenando termos, obtemos exatamente a identidade desejada.

Resposta

1 + \tan^2(t) = \sec^2(t)

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