Questão (3(2,5)). Calcule os limites, caso existam, nos pontos indicados:
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x^{2}-16}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x^{2}-16}
Este é um caso de forma indeterminada \tfrac{0}{0} ao fazermos a substituição direta. Para resolvermos, vamos usar racionalização do numerador e fatoração do denominador.

Passo 2

Verificamos a substituição direta: em x=4 temos \sqrt{4}-2=0 e 4^2-16=0, logo temos 0/0. Então, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador, \sqrt{x}+2:
\frac{\sqrt{x}-2}{x^{2}-16}\;\times\;\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} =\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x^{2}-16)\,(\sqrt{x}+2)}.

Passo 3

No numerador (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4. E no denominador x^{2}-16=(x-4)(x+4). Assim
\frac{x-4}{(x-4)(x+4)\,(\sqrt{x}+2)} =\frac{1}{(x+4)\,(\sqrt{x}+2)},
válido para x\neq4.

Passo 4

Agora a função simplificada é contínua em x=4, então basta substituir:
\lim_{x\to4}\frac{1}{(x+4)(\sqrt{x}+2)} =\frac{1}{(4+4)\,(2+2)} =\frac{1}{8\cdot4} =\frac{1}{32}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{32}

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