Questão (3(2,5)). Calcule os limites, caso existam, nos pontos indicados:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{8+x^{3}}{4-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 2} \frac{8 + x^3}{4 - x^2}.
O conteúdo envolvido é limites de funções racionais, em particular indeterminação do tipo \frac{\text{constante}}{0}. Vamos usar substituição direta e, em seguida, análise dos limites laterais.

Passo 2

Substituindo x=2 na expressão:
8 + 2^3 = 16, \quad 4 - 2^2 = 0.
Como o numerador tende a 16\neq 0 e o denominador a 0, não obtemos valor finito por substituição direta.

Passo 3

Analisamos o sinal do denominador próximo a x=2:
  • Se x<2, então x^2<4 e 4 - x^2>0, logo \frac{8 + x^3}{4 - x^2}\to +\infty.
  • Se x>2, então x^2>4 e 4 - x^2<0, logo \frac{8 + x^3}{4 - x^2}\to -\infty.

Passo 4

Os limites laterais são diferentes ( +\infty e -\infty), portanto o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe; de fato
\lim_{x\to 2^-}\frac{8 + x^3}{4 - x^2}=+\infty
e
\lim_{x\to 2^+}\frac{8 + x^3}{4 - x^2}=-\infty.

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