Questão 5(2,0). Determine números reais a e b de forma que a funçâo f abaixo seja continua em R,
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} a x^{2}-b, & \text { se } x \leq-1 \\\\ 1-x, & \text { se }-1<x<2 \\\ b x+a, & \text { sex } \geq 2 \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes
f(x)=\begin{cases} a x^{2}-b, & x\le -1,\\\\ 1-x, & -1<x<2,\\\ b x+a, & x\ge 2, \end{cases}
e pede que f seja contínua em todo \mathbb{R}. Para isso vamos usar o conceito de continuidade em pontos de quebra: igualar os limites laterais em x=-1 e em x=2.
Passo 2
Continuidade em x=-1: \displaystyle\lim_{x\to -1^-}f(x)=a(-1)^2-b=a-b \displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)=1-(-1)=2
Logo, a condição é
a-b=2.
Passo 3
Continuidade em x=2: \displaystyle\lim_{x\to 2^-}f(x)=1-2=-1 \displaystyle\lim_{x\to 2^+}f(x)=b\cdot2+a=2b+a
Logo, a condição é
2b+a=-1.
Passo 4
Resolvendo o sistema
\begin{cases} a-b=2,\\\ a+2b=-1, \end{cases}
da primeira equação vem a=2+b. Substituindo na segunda: