Questão 4(2,0). Mostre que a função f(x)=\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-1} possui assintota vertical emí x=1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-1}
definida em \mathbb{R}\setminus\{-1,1\} e pede para mostrar que x=1 é assíntota vertical. Para isso, vamos usar o conceito de limites infinitos laterais: se
\lim_{x\to1^-}f(x)=\pm\infty ou \lim_{x\to1^+}f(x)=\pm\infty, então x=1 é assíntota vertical.

Passo 2

Simplificamos a expressão de f(x) para facilitar o cálculo dos limites. Observando que x^{2}+2x+1=(x+1)^{2} e x^{2}-1=(x-1)(x+1), temos
f(x)=\frac{(x+1)^{2}}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+1}{x-1},\qquad x\neq\pm1.

Passo 3

Calculamos o limite pela esquerda em x=1:
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}\frac{x+1}{x-1} =\lim_{x\to1^-}\frac{2}{\,x-1\,}.
Como x-1\to0^-, o quociente \tfrac{2}{x-1}\to -\infty. Logo,
\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty.

Passo 4

Calculamos o limite pela direita em x=1:
\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{x\to1^+}\frac{x+1}{x-1} =\lim_{x\to1^+}\frac{2}{\,x-1\,}.
Aqui x-1\to0^+, então \tfrac{2}{x-1}\to +\infty. Portanto,
\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.

Passo 5

Como em pelo menos uma das aproximações (na verdade em ambas) f(x) cresce sem limite em módulo quando x\to1, concluímos que x=1 é assíntota vertical de f.

Resposta

A função f(x)=\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-1} possui assíntota vertical em x=1.

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