Questão 3. (1,5 pts) Seja
. Determine os pontos em que
não é derivável. Nos demais pontos, calcule
.
Observação: Se você achar que a derivada de
não existe em algum ponto, justifique.
Observação: Se você achar que a derivada de
Passo 1
O enunciado define
e pede (a) os pontos em que
não é derivável e (b), nos demais, calcular
.
Para isso vamos usar a regra do produto, a regra da cadeia e o fato de que a derivada de
é
Para isso vamos usar a regra do produto, a regra da cadeia e o fato de que a derivada de
a qual explode quando
.
Passo 2
Identificamos dois “inputs” de radiciação cúbica:
Cada
tem derivada infinita sempre que
.
- implica
, ou seja,
ou
.
- implica
, ou seja,
.
Logo, os pontos onde alguma das cadeias tem derivada infinita são
-
-
Logo, os pontos onde alguma das cadeias tem derivada infinita são
e aí
não é derivável.
Passo 3
Para
,
é produto de duas funções suaves
e
, com
Pela regra do produto e da cadeia,
Como
temos
Passo 4
Basta achar
e
.
Substituindo em
, para
:
Resposta
Os pontos onde
não é derivável são
Nos demais
,