Questão 3. (1,5 pts) Seja f(x)=sen(raiz[3]x^3-3 x^2) sen(raiz[3]3 x). Determine os pontos em que f não é derivável. Nos demais pontos, calcule f^prime(x).
Observação: Se você achar que a derivada de f não existe em algum ponto, justifique.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=senl(raiz[3]x^3-3x^2r),senl(raiz[3]3xr)
e pede (a) os pontos em que f não é derivável e (b), nos demais, calcular f'(x).
Para isso vamos usar a regra do produto, a regra da cadeia e o fato de que a derivada de
raiz[3]u(x)=u(x)^1/3 é
ddxl(u(x)^1/3r)=13,u(x)^-2/3,u'(x),
a qual explode quando u(x)=0.

Passo 2

Identificamos dois “inputs” de radiciação cúbica:
u1(x)=x^3-3x^2, nu2(x)=3x
Cada raiz[3]ui(x) tem derivada infinita sempre que ui(x)=0.
- u1(x)=0 implica x^2(x-3)=0, ou seja, x=0 ou x=3.
- u2(x)=0 implica 3x=0, ou seja, x=0.
Logo, os pontos onde alguma das cadeias tem derivada infinita são
x=0e x=3,
e aí f não é derivável.

Passo 3

Para xneq0,3, f é produto de duas funções suaves
sen(h1(x)) e sen(h2(x)), com
h1(x)=raiz[3]x^3-3x^2, h2(x)=raiz[3]3x
Pela regra do produto e da cadeia,
f'(x) =ddxl[sen(h1(x))r];sen(h2(x)) +sen(h1(x));ddxl[sen(h2(x))r]
Como
ddxl[sen(hi(x))r] =cosl(hi(x)r),hi'(x),
temos
f'(x) =cosl(h1(x)r),h1'(x),senl(h2(x)r) +senl(h1(x)r),cosl(h2(x)r),h2'(x)

Passo 4

Basta achar h1'(x) e h2'(x).
h1'(x) =13,(x^3-3x^2)^-2/3,(3x^2-6x) =3x^2-6x3,(x^3-3x^2)^2/3 =x(x-2)(x^3-3x^2)^2/3,
h2'(x) =13,(3x)^-2/3cdot3 =(3x)^-2/3
Substituindo em f'(x), para xneq0,3:
f'(x) =cos!l(raiz[3]x^3-3x^2r), x(x-2)(x^3-3x^2)^2/3, sen!l(raiz[3]3xr) +sen!l(raiz[3]x^3-3x^2r), cos!l(raiz[3]3xr), 1(3x)^2/3

Resposta

Os pontos onde f não é derivável são
x=0e x=3
Nos demais xneq0,3,
f'(x) =cosl(raiz[3]x^3-3x^2r), x(x-2)(x^3-3x^2)^2/3, senl(raiz[3]3xr) +senl(raiz[3]x^3-3x^2r), cosl(raiz[3]3xr), 1(3x)^2/3

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