Questão 2. Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
é um inteiro que tende a
, e dentro do seno aparece o argumento
que, quando
, tende a
. O que precisamos encontrar é o valor numérico desse limite.
Passo 2
Observação importante (intuição): quando
temos
. Então a expressão
tem a forma
se fizermos a substituição
. Portanto o problema reduz-se a entender o comportamento de
quando
. Agora vou ensinar e provar o limite fundamental
porque é a peça-chave.
Passo 3
Demonstração da desigualdade básica que leva ao limite. Para
tal que
vale a desigualdade clássica (pode ser vista por comparação de áreas no círculo unitário):
Essa desigualdade significa: o comprimento do arco é maior que a altura do triângulo inscrito (
) e menor que a extensão do triângulo circunscrito (
). Não precisamos do desenho aqui, apenas dessa inequação válida para
pequeno e positivo.
Passo 4
A partir de
fazemos manipulações algébricas seguras (para
). Dividindo tudo por
obtemos
Agora escrevendo
temos
. Da desigualdade original, tomando recíprocos com cuidado (os termos são positivos), obtemos a versão mais usada
para
.
Passo 5
Aplicamos o Teorema do Confronto (squeeze theorem). Sabemos que
e o limite da constante
é
. Como
para
próximo de
(pela desigualdade do passo anterior), o Teorema do Confronto dá
Explicando de forma simples: a razão
fica presa entre dois valores que convergem ambos para
, logo ela também converge para
.
Passo 6
Voltemos à expressão original. Faça a substituição
. Quando
temos
. Reescrevemos a expressão como
Pelo resultado do passo anterior, quando
essa razão tende a
. Portanto, passando de volta à variável
,
Passo 7
Comentário adicional (intuição extra): outra forma de ver rapidamente é através da expansão em série (mais avançado):
. Dividindo por
obtém-se
, que tende a
quando
. Mas para a prova formal usamos o Teorema do Confronto (passos anteriores), que é mais elementar.