Questão 2. Calcule os limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty} n \sin \left(\frac{1}{n}\right)=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{n\to+\infty} n \sin\!\left(\frac{1}{n}\right).
Informações dadas: n é um inteiro que tende a +\infty, e dentro do seno aparece o argumento \frac{1}{n} que, quando n\to+\infty, tende a 0^{+}. O que precisamos encontrar é o valor numérico desse limite.

Passo 2

Observação importante (intuição): quando n\to+\infty temos \frac{1}{n}\to0. Então a expressão n\sin\!\left(\frac{1}{n}\right) tem a forma \dfrac{\sin x}{x} se fizermos a substituição x=\frac{1}{n}. Portanto o problema reduz-se a entender o comportamento de \dfrac{\sin x}{x} quando x\to0. Agora vou ensinar e provar o limite fundamental
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,
porque é a peça-chave.

Passo 3

Demonstração da desigualdade básica que leva ao limite. Para x tal que 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade clássica (pode ser vista por comparação de áreas no círculo unitário):
\sin x < x < \tan x.
Essa desigualdade significa: o comprimento do arco é maior que a altura do triângulo inscrito ( \sin x) e menor que a extensão do triângulo circunscrito ( \tan x). Não precisamos do desenho aqui, apenas dessa inequação válida para x pequeno e positivo.

Passo 4

A partir de \sin x < x < \tan x fazemos manipulações algébricas seguras (para x>0). Dividindo tudo por x obtemos
\frac{\sin x}{x} < 1 < \frac{\tan x}{x}.
Agora escrevendo \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} temos \frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}. Da desigualdade original, tomando recíprocos com cuidado (os termos são positivos), obtemos a versão mais usada
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1
para 0<x<\tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Aplicamos o Teorema do Confronto (squeeze theorem). Sabemos que \lim_{x\to0}\cos x=1 e o limite da constante 1 é 1. Como \cos x \le \dfrac{\sin x}{x}\le 1 para x próximo de 0 (pela desigualdade do passo anterior), o Teorema do Confronto dá
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
Explicando de forma simples: a razão \sin x/x fica presa entre dois valores que convergem ambos para 1, logo ela também converge para 1.

Passo 6

Voltemos à expressão original. Faça a substituição x=\dfrac{1}{n}. Quando n\to+\infty temos x\to0^{+}. Reescrevemos a expressão como
n\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}=\frac{\sin x}{x}.
Pelo resultado do passo anterior, quando x\to0 essa razão tende a 1. Portanto, passando de volta à variável n,
\lim_{n\to+\infty} n\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)=1.

Passo 7

Comentário adicional (intuição extra): outra forma de ver rapidamente é através da expansão em série (mais avançado): \sin x = x - \tfrac{x^{3}}{6}+o(x^{3}). Dividindo por x obtém-se \dfrac{\sin x}{x}=1-\tfrac{x^{2}}{6}+o(x^{2}), que tende a 1 quando x\to0. Mas para a prova formal usamos o Teorema do Confronto (passos anteriores), que é mais elementar.

Resposta

1

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