Questão 2. Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende a infinito:
Informações dadas e objetivo:
- A sequência considerada é
. - A variável
tende para . - Precisamos encontrar o valor do limite dessa sequência quando
.
Passo 2
Primeiro passo prático: tomar o logaritmo natural para simplificar a potência. Isso é uma técnica padrão porque o log transforma potências em produtos, que ficam mais fáceis de analisar. Defina
Então o logaritmo natural de
é
Explicar por que isso ajuda: se conseguirmos o limite de
, digamos que ele seja
, então como a função exponencial é contínua teremos
. Portanto vamos focar em
.
Passo 3
Agora precisamos analisar o comportamento de
quando
. Note que
. Um limite clássico e muito útil é
Uma forma simples de justificar isso é usar a Regra de L’Hôpital: quando
temos uma forma indeterminada
. Derivando numerador e denominador obtemos
Então a razão
tende a
quando
.
Passo 4
Aplique esse resultado com
(então
quando
). Reescrevendo
:
Tomando limite em ambos os lados,
pois usamos o limite do passo anterior.
Passo 5
Como
, aplicando a função exponencial (que é contínua) obtemos
Intuição curta:
aproxima
para
grande; aqui temos a potência
, então fica
.