Questão 2. Calcule os limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2 n}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando n tende a infinito:
\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n}.
Informações dadas e objetivo:
  • A sequência considerada é a_n=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n}.
  • A variável n tende para +\infty.
  • Precisamos encontrar o valor do limite dessa sequência quando n\to+\infty.

Passo 2

Primeiro passo prático: tomar o logaritmo natural para simplificar a potência. Isso é uma técnica padrão porque o log transforma potências em produtos, que ficam mais fáceis de analisar. Defina
a_n=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n}.
Então o logaritmo natural de a_n é
\ln(a_n)=2n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Explicar por que isso ajuda: se conseguirmos o limite de \ln(a_n), digamos que ele seja L, então como a função exponencial é contínua teremos \lim a_n = e^{L}. Portanto vamos focar em \lim \ln(a_n).

Passo 3

Agora precisamos analisar o comportamento de \ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right) quando n\to\infty. Note que \dfrac{1}{n}\to0. Um limite clássico e muito útil é
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Uma forma simples de justificar isso é usar a Regra de L’Hôpital: quando u\to0 temos uma forma indeterminada 0/0. Derivando numerador e denominador obtemos
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=\lim_{u\to0}\frac{\frac{d}{du}\ln(1+u)}{\frac{d}{du}u}=\lim_{u\to0}\frac{1}{1+u}=1.
Então a razão \dfrac{\ln(1+u)}{u} tende a 1 quando u\to0.

Passo 4

Aplique esse resultado com u=\dfrac{1}{n} (então u\to0 quando n\to\infty). Reescrevendo \ln(a_n):
\ln(a_n)=2n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=2\cdot\frac{\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}.
Tomando limite em ambos os lados,
\lim_{n\to\infty}\ln(a_n)=2\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}=2\cdot 1=2,
pois usamos o limite do passo anterior.

Passo 5

Como \ln(a_n)\to 2, aplicando a função exponencial (que é contínua) obtemos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} e^{\ln(a_n)} = e^{\,\lim_{n\to\infty}\ln(a_n)} = e^{2}.
Intuição curta: \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n} aproxima e para n grande; aqui temos a potência 2n, então fica \big((1+1/n)^n\big)^2\approx e^{2}.

Resposta

e^{2}

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