Questão 4: Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3}{x-1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comportamento de
\frac{3}{x-1}
quando x se aproxima de 1. Isso envolve limites que podem divergir para infinito, então vamos analisar os limites laterais.

Passo 2

Analisando o limite pela esquerda, isto é, quando x\to1^-, temos x-1<0 e muito próximo de zero. Logo, o quociente \tfrac{3}{x-1}
é um número negativo de módulo muito grande. Assim,
\lim_{x\to1^-}\frac{3}{x-1} = -\infty.

Passo 3

Analisando o limite pela direita, isto é, quando x\to1^+, temos x-1>0 e muito próximo de zero. Nesse caso, o quociente \tfrac{3}{x-1}
é positivo e cresce sem limite. Logo,
\lim_{x\to1^+}\frac{3}{x-1} = +\infty.

Passo 4

Como os limites laterais não coincidem (de um lado dá -\infty, do outro +\infty), o limite bilateral \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{3}{x-1}
não existe no sentido clássico.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to1^-}\frac{3}{x-1} = -\infty \displaystyle\lim_{x\to1^+}\frac{3}{x-1} = +\infty
Portanto, \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{3}{x-1} não existe.

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