Questão 3.(2.0) Calcule os limites.
lim (x, y) (0,0) 1-cos (x y)x y

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite de uma função de duas variáveis quando ,(x,y), tende a ,(0,0). O conteúdo aqui é limites em várias variáveis e vamos precisar da expansão de Taylor de cos u em torno de u=0 para simplificar a expressão.

Passo 2

Para facilitar, definimos u = xy. Assim a função original
1 - cos(xy)xy = 1 - cos uu,
e passaríamos para o limite quando u to 0, já que (x,y) to (0,0) implica u=xy to 0.

Passo 3

Usamos a expansão de Taylor de cos u em torno de zero:
cos u = 1 - u^22 + o(u^2)
Então
1 - cos u = u^22 + o(u^2),
e por isso
1 - cos uu = u^2/2 + o(u^2)u = u2 + o(u)

Passo 4

Como u to 0, o termo u2 + o(u) tende a zero.
Portanto, levando de volta a (x,y), temos que u=xy tende a zero e o limite da expressão é zero.

Resposta

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