Resolva as EDO exatas:
y e^x y d x+x e^x y d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y e^xy,dx + x e^xy,dy = 0. O conteúdo é equações diferenciais exatas, e vamos precisar verificar se é exata usando as derivadas parciais de M(x,y) = y e^xy e N(x,y)=x e^xy e, em caso positivo, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que partial F/partial x = M e partial F/partial y=N.

Passo 2

Verifico exatidão calculando partial M/partial y e partial N/partial x. Para M=y e^xy tenho partial M/partial y = e^xy + x y e^xy. Para N = x e^xy tenho partial N/partial x = e^xy + x y e^xy. Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Encontro a função potencial F(x,y) integrando M em relação a x: integral y e^xy,dx. Faço a troca u = xy, então du = y,dx, e fica integral e^u,du = e^u + h(y). Voltando, integral M,dx = e^xy + h(y), logo F(x,y) = e^xy + h(y).

Passo 4

Determino h(y) exigindo partial F/partial y = N. Calculando partial F/partial y x e^xy + h'(y). Igualando a N = x e^xy obtemos h'(y)=0, logo h é constante e pode ser absorvida na constante geral da solução.

Resposta

A solução implícita geral é e^xy = C.

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