Questão 3.(2.0) Calcule os limites.
lim (x, y) (0,0) ln (1+x y)x y

Passo 1

O enunciado pede para calcular lim(x,y)to(0,0) ln(1+xy)xy. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis, e vamos usar o fato de que ln(1+u)/u tende a 1 quando uto0.

Passo 2

Perceba que a expressão depende apenas do produto xy. Definindo u = xy, quando (x,y)to(0,0) temos uto0. Assim a nossa função fica ln(1+u)u.

Passo 3

Agora aplicamos o limite fundamental do logaritmo: limuto0ln(1+u)u = 1. Esse resultado pode ser visto na expansão de Taylor de ln(1+u) ou como a derivada de ln(x) em x=1.

Passo 4

Como a expressão em duas variáveis reduz a esse limite em uma variável, concluímos que o limite original também vale 1.

Resposta

1

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