Questão 7. Calcule os limites a seguir usando o teorema do confronto/sanduiche.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A função em questão é
. - A variável
tende para . - Não há outros dados numéricos além da expressão que aparece no numerador e do denominador
.
Passo 2
Primeiro fato importante (sobre
): para todo número real
vale
Explicação curta:
é a coordenada
de um ponto na circunferência unitária; portanto nunca pode ser menor que
nem maior que
. Isso é uma propriedade básica da função cosseno.
Passo 3
Aplicando a desigualdade anterior ao argumento
obtemos
Somando
em todos os membros da desigualdade (operação que preserva a desigualdade) dá
Passo 4
Agora dividimos toda a desigualdade por
. Como estamos considerando
, para
suficientemente grande temos
, então a direção das desigualdades não muda. Assim
Aqui estamos colocando a nossa função entre duas outras funções mais simples: a função
(constante) e a função
.
Passo 5
Calculemos os limites das duas funções que formam as cotas quando
:
Explicação:
tende a
porque
cresce sem limite e dividir uma constante por um número que cresce sem limite dá
.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Confronto (também chamado de teorema da sanduíche): se uma função
satisfaz
para todo
em torno de um ponto e
, então
. No nosso caso
,
e
, e ambos os limites de
e
são
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