Questão 7. Calcule os limites a seguir usando o teorema do confronto/sanduiche.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\cos \left(x^{2}+3 x\right)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\cos\left(x^{2}+3x\right)}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função em questão é \dfrac{1+\cos\left(x^{2}+3x\right)}{x^{2}}.
  • A variável x tende para +\infty.
  • Não há outros dados numéricos além da expressão que aparece no numerador e do denominador x^{2}.

Passo 2

Primeiro fato importante (sobre \cos): para todo número real t vale
-1 \le \cos t \le 1.
Explicação curta: \cos t é a coordenada x de um ponto na circunferência unitária; portanto nunca pode ser menor que -1 nem maior que 1. Isso é uma propriedade básica da função cosseno.

Passo 3

Aplicando a desigualdade anterior ao argumento t=x^{2}+3x obtemos
-1 \le \cos\left(x^{2}+3x\right) \le 1.
Somando 1 em todos os membros da desigualdade (operação que preserva a desigualdade) dá
0 \le 1+\cos\left(x^{2}+3x\right) \le 2.

Passo 4

Agora dividimos toda a desigualdade por x^{2}. Como estamos considerando x\to+\infty, para x suficientemente grande temos x^{2}>0, então a direção das desigualdades não muda. Assim
0 \le \frac{1+\cos\left(x^{2}+3x\right)}{x^{2}} \le \frac{2}{x^{2}}.
Aqui estamos colocando a nossa função entre duas outras funções mais simples: a função 0 (constante) e a função \dfrac{2}{x^{2}}.

Passo 5

Calculemos os limites das duas funções que formam as cotas quando x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty} 0 = 0, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{2}{x^{2}} = 0.
Explicação: \dfrac{2}{x^{2}} tende a 0 porque x^{2} cresce sem limite e dividir uma constante por um número que cresce sem limite dá 0.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Confronto (também chamado de teorema da sanduíche): se uma função f(x) satisfaz
g(x) \le f(x) \le h(x)
para todo x em torno de um ponto e \lim g(x)=\lim h(x)=L, então \lim f(x)=L. No nosso caso g(x)=0, f(x)=\dfrac{1+\cos\left(x^{2}+3x\right)}{x^{2}} e h(x)=\dfrac{2}{x^{2}}, e ambos os limites de g e h são 0. Logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\cos\left(x^{2}+3x\right)}{x^{2}}=0.

Resposta

0

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