Questão 8. Calcule
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas coisas separadas:
-
. -
.
Informações dadas:
- A função em questão é
. - O ponto de interesse é
, onde o denominador se anula (logo a expressão original não está definida em ), mas queremos os limites laterais quando se aproxima de pela direita ( ) e pela esquerda ( ).
Passo 2
Vamos usar uma fatoração algébrica clássica que facilita muito esse tipo de limite. A identidade geral é:
Explicando de forma simples: ao multiplicar
por essa soma, os termos se telescopam e restam apenas
. Aqui
e
são números (ou expressões), e
é um inteiro positivo.
Aplicando com
,
e
temos:
Passo 3
Para
podemos dividir ambos os lados por
e obter:
Observação importante (didática): a simplificação é válida para qualquer
distinto de
. Como limites consideram valores de
próximos de
mas diferentes de
, é perfeitamente correto substituir a expressão original por essa soma de potências ao calcular o limite.
Passo 4
Agora usamos uma propriedade básica de funções polinomiais: polinômios são contínuos em todo número real. Isso significa que, para um polinômio
,
No nosso caso a expressão equivalente ao quociente, para
, é o polinômio
. Portanto ao aproximar
de
(pela direita ou pela esquerda) o limite será o valor do polinômio em
.
Calculemos esse valor:
Passo 5
Conclusão dos limites laterais: como a expressão simplificada é contínua em
, ambos os limites laterais existem e são iguais ao valor calculado:
Dica rápida e motivadora: esse tipo de limite
aparece muito e, quando
é diferenciável, é exatamente
. Aqui
e
, então
, conferindo com o resultado — é um jeito extra de checar a conta.