Questão 8. Calcule \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{5}-1}{x-1} e \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x^{5}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas coisas separadas:
  • \displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} \frac{x^{5}-1}{x-1}.
  • \displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} \frac{x^{5}-1}{x-1}.
Informações dadas:
  • A função em questão é \displaystyle \frac{x^{5}-1}{x-1}.
  • O ponto de interesse é x=1, onde o denominador se anula (logo a expressão original não está definida em x=1), mas queremos os limites laterais quando x se aproxima de 1 pela direita ( 1^{+}) e pela esquerda ( 1^{-}).

Passo 2

Vamos usar uma fatoração algébrica clássica que facilita muito esse tipo de limite. A identidade geral é:
a^{n}-b^{n}=(a-b)\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\bigr).
Explicando de forma simples: ao multiplicar (a-b) por essa soma, os termos se telescopam e restam apenas a^{n}-b^{n}. Aqui a e b são números (ou expressões), e n é um inteiro positivo.
Aplicando com a=x, b=1 e n=5 temos:
x^{5}-1=(x-1)\bigl(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr).

Passo 3

Para x\neq 1 podemos dividir ambos os lados por (x-1) e obter:
\frac{x^{5}-1}{x-1}=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1.
Observação importante (didática): a simplificação é válida para qualquer x distinto de 1. Como limites consideram valores de x próximos de 1 mas diferentes de 1, é perfeitamente correto substituir a expressão original por essa soma de potências ao calcular o limite.

Passo 4

Agora usamos uma propriedade básica de funções polinomiais: polinômios são contínuos em todo número real. Isso significa que, para um polinômio p(x),
\lim_{x\to a} p(x)=p(a).
No nosso caso a expressão equivalente ao quociente, para x\neq1, é o polinômio p(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1. Portanto ao aproximar x de 1 (pela direita ou pela esquerda) o limite será o valor do polinômio em x=1.
Calculemos esse valor:
p(1)=1^{4}+1^{3}+1^{2}+1+1=1+1+1+1+1=5.

Passo 5

Conclusão dos limites laterais: como a expressão simplificada é contínua em x=1, ambos os limites laterais existem e são iguais ao valor calculado:
  • \displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} \frac{x^{5}-1}{x-1}=5.
  • \displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} \frac{x^{5}-1}{x-1}=5.
Dica rápida e motivadora: esse tipo de limite \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} aparece muito e, quando f é diferenciável, é exatamente f'(a). Aqui f(x)=x^{5} e f'(x)=5x^{4}, então f'(1)=5, conferindo com o resultado — é um jeito extra de checar a conta.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} \frac{x^{5}-1}{x-1}=5
\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} \frac{x^{5}-1}{x-1}=5

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