Questão 1: Seja C a porção de \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1, y \geq 0, e \vec{F}=\left(x^{2}+y^{3}+\ln \left(1+y^{2}\right) ; \frac{2 x y}{1+y^{2}}+e^{1+y^{2}}\right). Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A curva C é a porção superior da elipse \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 com y\geq0. Os extremos dessa porção são os pontos (3,0) e (-3,0).
  • O campo vetorial é \vec{F}=(P,Q) com P(x,y)=x^{2}+y^{3}+\ln\!\bigl(1+y^{2}\bigr), \qquad Q(x,y)=\frac{2xy}{1+y^{2}}+e^{1+y^{2}}.
  • O que se pede: calcular \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Observação sobre orientação (importante): como o enunciado não explícita a orientação, vou assumir a orientação positiva (contra-horária) da elipse parcial, isto é, a parametrização padrão da meia-elipse superior vai de (3,0) para (-3,0). Se desejar a orientação oposta, basta trocar o sinal do resultado final.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do porquê): integrar diretamente pela parametrização da elipse dava uma integral trabalhosa. Uma técnica útil é fechar a curva adicionando o segmento reto pelo eixo x entre (-3,0) e (3,0), formando uma curva fechada \Gamma. Para a curva fechada \Gamma (positivamente orientada) vale o Teorema de Green, que transforma a integral de linha em integral dupla sobre a região D delimitada por \Gamma.
Enunciado do Teorema de Green (forma usada aqui):
\oint_{\Gamma} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde \Gamma é a fronteira simples, fechada e orientada positivamente da região D.
Vamos calcular \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x} e \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{2xy}{1+y^{2}}+e^{1+y^{2}}\right)=\frac{2y}{1+y^{2}},
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(x^{2}+y^{3}+\ln\!\bigl(1+y^{2}\bigr)\right)=3y^{2}+\frac{2y}{1+y^{2}}.
Portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{2y}{1+y^{2}}-\Bigl(3y^{2}+\frac{2y}{1+y^{2}}\Bigr)=-3y^{2}.

Passo 4

Construção da curva fechada e aplicação de Green:
  • Seja S o segmento reto no eixo x de (-3,0) a (3,0).
  • Tome \Gamma formada por C seguido de S; \Gamma é a fronteira positiva da região D (a metade superior da elipse completa).
Pelo Teorema de Green:
\oint_{\Gamma} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}-3y^{2}\,dA.
Mas \oint_{\Gamma}=\int_{C}+\int_{S}. Assim
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}+\int_{S}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D}-3y^{2}\,dA.
Logo, para obter \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} precisamos calcular o lado direito e subtrair \int_{S}.

Passo 5

Cálculo da integral dupla \iint_{D}-3y^{2}\,dA.
Primeiro calcule \iint_{D}y^{2}\,dA. É conveniente usar a mudança de variáveis linear que transforma a elipse em disco unitário:
x=3u,\qquad y=2v.
Sob essa transformação a elipse \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}\le1 vira o disco u^{2}+v^{2}\le1. O jacobiano da transformação é
\left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=3\cdot 2=6,
e y^{2}=(2v)^{2}=4v^{2}. Assim
\iint_{D} y^{2}\,dA = \iint_{u^{2}+v^{2}\le1} 4v^{2}\cdot 6\,du\,dv =24\iint_{u^{2}+v^{2}\le1} v^{2}\,du\,dv.
Como D é a metade superior da elipse, na variável (u,v) temos o semi-disco superior: r\in[0,1],\\ \theta\in[0,\pi] em coordenadas polares (u=r\cos\theta,\\ v=r\sin\theta). Em polares
v^{2}=r^{2}\sin^{2}\theta,\qquad du\,dv=r\,dr\,d\theta.
Portanto
\iint_{D} y^{2}\,dA =24\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\sin^{2}\theta\; r\,dr\,d\theta =24\left(\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\right).
Calcule as integrais separadas:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr=\frac{1}{4}, \qquad \int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\frac{\pi}{2}.
Logo
\iint_{D} y^{2}\,dA =24\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{4}=24\cdot\frac{\pi}{8}=3\pi.
Assim
\iint_{D}-3y^{2}\,dA=-3\cdot 3\pi=-9\pi.

Passo 6

Cálculo da integral sobre o segmento S (e subtração final).
Parametrize S por r(x)=(x,0) com x indo de -3 a 3. Aqui dy=0, então
\int_{S}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{x=-3}^{3} P(x,0)\,dx.
Avalie P(x,0)=x^{2}+0+\ln(1+0)=x^{2}. Então
\int_{S}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{-3}^{3} x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-3}^{3}=\frac{27}{3}-\frac{-27}{3}=9-(-9)=18.
Agora combine com o resultado da integral dupla:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D}-3y^{2}\,dA-\int_{S}\vec{F}\cdot d\vec{r}=-9\pi-18.

Resposta

-9\pi-18

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