Questão 1: Seja C a porção de \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1, y \geq 0, e \vec{F}=\left(x^{2}+y^{3}+\ln \left(1+y^{2}\right) ; \frac{2 x y}{1+y^{2}}+e^{1+y^{2}}\right). Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.
Passo 1
O enunciado nos dá:
A curva C é a porção superior da elipse \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 com y\geq0. Os extremos dessa porção são os pontos (3,0) e (-3,0).
O campo vetorial é \vec{F}=(P,Q) comP(x,y)=x^{2}+y^{3}+\ln\!\bigl(1+y^{2}\bigr), \qquad Q(x,y)=\frac{2xy}{1+y^{2}}+e^{1+y^{2}}.
O que se pede: calcular \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Observação sobre orientação (importante): como o enunciado não explícita a orientação, vou assumir a orientação positiva (contra-horária) da elipse parcial, isto é, a parametrização padrão da meia-elipse superior vai de (3,0) para (-3,0). Se desejar a orientação oposta, basta trocar o sinal do resultado final.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do porquê): integrar diretamente pela parametrização da elipse dava uma integral trabalhosa. Uma técnica útil é fechar a curva adicionando o segmento reto pelo eixo x entre (-3,0) e (3,0), formando uma curva fechada \Gamma. Para a curva fechada \Gamma (positivamente orientada) vale o Teorema de Green, que transforma a integral de linha em integral dupla sobre a região D delimitada por \Gamma.
Como D é a metade superior da elipse, na variável (u,v) temos o semi-disco superior: r\in[0,1],\\ \theta\in[0,\pi] em coordenadas polares (u=r\cos\theta,\\ v=r\sin\theta). Em polares