Questão 2 - Calcule a partir da definição a transformada de Fourier em tempo discreto para a sequência dada a seguir:
x[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cos \left[\frac{\pi}{3}(n-2)\right] u[n-2]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) da sequência
x[n]=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}\,\cos\!\bigl[\tfrac{\pi}{3}(n-2)\bigr]\,u[n-2].
Para resolver precisamos usar a definição
X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\,e^{-j\omega n},
expressar o cosseno em termos de exponenciais complexas e somar a série geométrica resultante.

Passo 2

Escrevemos o cosseno como médias de exponenciais:
\cos\!\bigl[\tfrac{\pi}{3}(n-2)\bigr] =\frac{1}{2}\Bigl(e^{j\frac{\pi}{3}(n-2)}+e^{-j\frac{\pi}{3}(n-2)}\Bigr).
Logo
x[n] =\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}\,\frac{1}{2}\Bigl(e^{j\frac{\pi}{3}(n-2)}+e^{-j\frac{\pi}{3}(n-2)}\Bigr)\,u[n-2].

Passo 3

Aplicando a definição da DTFT e usando u[n-2] para limitar a soma a n\ge2:
X(e^{j\omega}) =\sum_{n=2}^{\infty} \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}\frac{1}{2}\Bigl(e^{j\frac{\pi}{3}(n-2)}+e^{-j\frac{\pi}{3}(n-2)}\Bigr)e^{-j\omega n}.
Separamos em duas somas:
X(e^{j\omega}) =\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}e^{j\frac{\pi}{3}(n-2)}e^{-j\omega n} +\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}e^{-j\frac{\pi}{3}(n-2)}e^{-j\omega n}.

Passo 4

Fazemos a mudança de índice m=n-2, assim n=m+2 e m vai de 0 a \infty. Em cada soma extrai-se o fator \bigl(\tfrac12\bigr)^2e^{-j2\omega}= \tfrac{1}{4}e^{-j2\omega}:
X(e^{j\omega}) =\frac{1}{2}\,\frac{1}{4}e^{-j2\omega} \sum_{m=0}^{\infty} \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{m}e^{j\frac{\pi}{3}m}e^{-j\omega m} +\frac{1}{2}\,\frac{1}{4}e^{-j2\omega} \sum_{m=0}^{\infty} \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{m}e^{-j\frac{\pi}{3}m}e^{-j\omega m}.
Ou seja,
X(e^{j\omega})=\frac{1}{8}e^{-j2\omega} \Bigl(S_{+}+S_{-}\Bigr),
onde
S_{+}=\sum_{m=0}^{\infty}\bigl[(\tfrac12)e^{-j(\omega-\tfrac{\pi}{3})}\bigr]^{m},\quad S_{-}=\sum_{m=0}^{\infty}\bigl[(\tfrac12)e^{-j(\omega+\tfrac{\pi}{3})}\bigr]^{m}.

Passo 5

Cada série é geométrica com razão
\alpha_{+}=(\tfrac12)e^{-j(\omega-\tfrac{\pi}{3})} e
\alpha_{-}=(\tfrac12)e^{-j(\omega+\tfrac{\pi}{3})}. Para |\alpha_{\pm}|<1 temos
S_{+}=\frac{1}{1-\alpha_{+}} =\frac{1}{1-\tfrac12 e^{-j(\omega-\tfrac{\pi}{3})}},\quad S_{-}=\frac{1}{1-\alpha_{-}} =\frac{1}{1-\tfrac12 e^{-j(\omega+\tfrac{\pi}{3})}}.

Passo 6

Substituindo em X(e^{j\omega}):
X(e^{j\omega}) =\frac{1}{8}e^{-j2\omega} \Biggl[ \frac{1}{1-\tfrac12 e^{-j(\omega-\tfrac{\pi}{3})}} +\frac{1}{1-\tfrac12 e^{-j(\omega+\tfrac{\pi}{3})}} \Biggr].

Resposta

X(e^{j\omega}) =\frac{1}{8}e^{-j2\omega} \Biggl[ \frac{1}{1-\tfrac12 e^{-j(\omega-\tfrac{\pi}{3})}} +\frac{1}{1-\tfrac12 e^{-j(\omega+\tfrac{\pi}{3})}} \Biggr].

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