Questão 1 - Calcule a Transformada de Fourier em Tempo Discreto para as sequências a seguir
y[n]=h[n]^{*} x[n] ; h[n]=u[n]-u[n-4] e x[n]=1 / 4 \delta[n-2]+(1 / 2)^{n} u[n]

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Fourier em Tempo Discreto (DTFT) de
\displaystyle y[n]=h[n]*x[n]
com
\displaystyle h[n]=u[n]-u[n-4] (pulso de duração 4) e
\displaystyle x[n]=\tfrac14\delta[n-2]+\bigl(\tfrac12\bigr)^n u[n].
Como convolução em tempo vira produto no domínio de frequência, vamos calcular
\displaystyle H(e^{j\omega}) e \displaystyle X(e^{j\omega}) e depois obter
\displaystyle Y(e^{j\omega})=H(e^{j\omega})\,X(e^{j\omega}).

Passo 2

Calcular \displaystyle H(e^{j\omega}) usando
H(e^{j\omega}) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}h[n]\,e^{-j\omega n} =\sum_{n=0}^{3}e^{-j\omega n}
Soma geométrica dá
H(e^{j\omega}) =\frac{1 - e^{-j4\omega}}{1 - e^{-j\omega}}.

Passo 3

Calcular \displaystyle X(e^{j\omega}) por definição:
X(e^{j\omega}) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\,e^{-j\omega n} =\frac{1}{4}e^{-j2\omega} +\sum_{n=0}^\infty\Bigl(\tfrac12\Bigr)^n e^{-j\omega n}.
A segunda soma é geométrica com razão \tfrac12e^{-j\omega}, logo
X(e^{j\omega}) =\frac{1}{4}e^{-j2\omega} +\frac{1}{1 - \tfrac12 e^{-j\omega}}, \qquad\bigl|\tfrac12 e^{-j\omega}\bigr|<1.

Passo 4

Pela propriedade da DTFT de convolução,
Y(e^{j\omega}) =H(e^{j\omega})\,X(e^{j\omega}) =\frac{1 - e^{-j4\omega}}{1 - e^{-j\omega}} \;\Bigl[ \frac{1}{4}e^{-j2\omega} +\frac{1}{1 - \tfrac12 e^{-j\omega}} \Bigr].

Resposta

Y(e^{j\omega}) =\frac{1 - e^{-j4\omega}}{1 - e^{-j\omega}} \;\biggl(\frac{1}{4}e^{-j2\omega}+\frac{1}{1 - \tfrac12 e^{-j\omega}}\biggr).

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