Questão 5. Calcule, quando possível, o limite das funções nos pontos indicados.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de
f(x)=\frac{8+x{3}}{4-x{2}}
quando x→2. Isso envolve limite infinito e análise de assíntota vertical em x=2.
f(x)=\frac{8+x{3}}{4-x{2}}
quando x→2. Isso envolve limite infinito e análise de assíntota vertical em x=2.
Passo 2
Tento a substituição direta: numerador →8+2^{3}=16, denom-inador →4−2^{2}=0. Como obtemos 16/0, não é um limite finito, mas sinaliza possível crescimento sem limite ou não existência.
Passo 3
Para entender o sinal do denominador fatoro:
Perto de x=2, temos 2+x>0 sempre, então o sinal de 4−x^{2} depende de 2−x.
Passo 4
Calculo os limites laterais:
– Para x→2^{-}, 2−x>0 ⇒ denom>0 e numerador≈16>0 ⇒ f(x)→+∞.
– Para x→2^{+}, 2−x<0 ⇒ denom<0 e numerador>0 ⇒ f(x)→−∞.
– Para x→2^{-}, 2−x>0 ⇒ denom>0 e numerador≈16>0 ⇒ f(x)→+∞.
– Para x→2^{+}, 2−x<0 ⇒ denom<0 e numerador>0 ⇒ f(x)→−∞.
Passo 5
Como os limites laterais são diferentes, o limite em x→2 não existe.
Resposta
O limite não existe. Especificamente,
e
.