Questão 7. Calcule um pouco mais:
\int x \sin \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois vemos \,x^{2}\, dentro do seno e um fator x\,dx no integrando.

Passo 2

Fazemos a troca de variável escolhendo
u = x^{2},
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du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int x \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int \sin(u)\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \sin(u)\,du = -\frac{1}{2}\cos(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável original ( u = x^{2}), obtemos
-\frac{1}{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

-\tfrac{1}{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C

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