Questão 7. Calcule um pouco mais:
\int x^{3} \cos \left(x^{4}+2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{3}\cos\bigl(x^{4}+2\bigr)\,dx.
Aqui o conteúdo principal é a técnica de substituição, pois dentro do cosseno aparece uma função composta x^{4}+2 cuja derivada é proporcional a x^{3}.

Passo 2

Vamos fazer a substituição
u = x^{4} + 2.
Dessa forma, derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = 4x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int x^{3}\cos\bigl(x^{4}+2\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{1}{4}\,du = \frac{1}{4}\int \cos(u)\,du.
A integral de \cos(u) é \sin(u).

Passo 4

Portanto,
\frac{1}{4}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{4}\sin(u) + C.
Voltando à variável x, como u = x^{4}+2, obtemos
\frac{1}{4}\sin\bigl(x^{4}+2\bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{4}\sin\bigl(x^{4}+2\bigr) + C

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