Questão 7. Calcule um pouco mais:
\int_{1}^{e} \frac{\ln t}{t} d t

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a integral definida
\int_{1}^{e} \frac{\ln t}{t}\,d t.
Esse problema se resolve por substituição simples, pois a derivada de \ln t é \tfrac1t.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = \ln t, \quad du = \frac{1}{t}\,d t.
Quando t=1, u=0, e quando t=e, u=1.

Passo 3

A integral em t passa a ser em u:
\int_{1}^{e} \frac{\ln t}{t}\,d t = \int_{0}^{1} u\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int_{0}^{1} u\,du = \Bigl[\tfrac{u^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1^{2}}{2}-\tfrac{0^{2}}{2} = \tfrac{1}{2}.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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