Questão 6. Calcule a primeira e a segunda derivada das curvas a seguir.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede duas coisas:
- Calcular a primeira derivada
. - Calcular a segunda derivada
.
As informações relevantes são os três componentes da curva:
Passo 2
Regra básica para derivar curvas vetoriais: se
então a derivada é feita componente a componente:
Isto significa que basta derivar cada função real
separadamente. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada, também componente a componente:
Passo 3
Derivando a primeira componente
. Use a regra do poder (power rule): para
vale
. Como há um fator constante
, aplica-se
. Portanto
Passo 4
Derivando a segunda componente
. Aqui usamos a regra da cadeia para exponenciais: se
é uma função,
. Tomando
temos
. Assim
Passo 5
Derivando a terceira componente
. Para o log natural vale
(regra da cadeia). Aqui
e
. Logo
Passo 6
Resumo intermediário das derivadas das componentes (ainda não montamos o vetor final):
Passo 7
Agora vamos à segunda derivada: derivar cada uma das funções
obtidas acima. Ou seja:
Passo 8
Calcule
. Aplicando a regra do poder/constante:
. Então
Passo 9
Calcule
. Derivando
. Usando a regra da cadeia novamente para
:
Passo 10
Calcule
para
. Duas maneiras: regra do quociente ou reescrever como produto. Reescrevendo:
Use a regra do produto
com
e
.
-
. -
(regra da cadeia aplicada a ).
Portanto
Colocando no mesmo denominador
:
Passo 11
Resumo intermediário das segundas derivadas das componentes:
Passo 12
Observação final rápida e incentivo: todas as expressões estão definidas para todo
(porque
sempre). Ótimo trabalho até aqui — é exatamente esse tipo de passo a passo que cai na prova. Respira, revisa as regras (potência, cadeia, produto/ quociente) e tá pronto.