Questão 6. Calcule a primeira e a segunda derivada das curvas a seguir.
\gamma(t)=\left(3 t^{2}, e^{-t}, \log \left(1+t^{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado dá a curva \gamma(t)=\left(3 t^{2}, e^{-t}, \log\left(1+t^{2}\right)\right) e pede duas coisas:
  • Calcular a primeira derivada \gamma'(t).
  • Calcular a segunda derivada \gamma''(t).
As informações relevantes são os três componentes da curva:
x(t)=3t^{2},\qquad y(t)=e^{-t},\qquad z(t)=\log\!\bigl(1+t^{2}\bigr).

Passo 2

Regra básica para derivar curvas vetoriais: se \gamma(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) então a derivada é feita componente a componente:
\gamma'(t)=\bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr).
Isto significa que basta derivar cada função real x(t),y(t),z(t) separadamente. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada, também componente a componente:
\gamma''(t)=\bigl(x''(t),y''(t),z''(t)\bigr).

Passo 3

Derivando a primeira componente x(t)=3t^{2}. Use a regra do poder (power rule): para \,t^{n}\, vale \dfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}. Como há um fator constante 3, aplica-se \dfrac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr)=3\cdot\dfrac{d}{dt}t^{2}=3\cdot(2t)=6t. Portanto
x'(t)=6t.

Passo 4

Derivando a segunda componente y(t)=e^{-t}. Aqui usamos a regra da cadeia para exponenciais: se u(t) é uma função, \dfrac{d}{dt}e^{u(t)}=u'(t)\,e^{u(t)}. Tomando u(t)=-t temos u'(t)=-1. Assim
y'(t)=(-1)\,e^{-t}=-e^{-t}.

Passo 5

Derivando a terceira componente z(t)=\log\!\bigl(1+t^{2}\bigr). Para o log natural vale \dfrac{d}{dt}\log(u(t))=\dfrac{u'(t)}{u(t)} (regra da cadeia). Aqui u(t)=1+t^{2} e u'(t)=2t. Logo
z'(t)=\frac{2t}{1+t^{2}}.

Passo 6

Resumo intermediário das derivadas das componentes (ainda não montamos o vetor final):
x'(t)=6t,\qquad y'(t)=-e^{-t},\qquad z'(t)=\frac{2t}{1+t^{2}}.

Passo 7

Agora vamos à segunda derivada: derivar cada uma das funções x'(t),y'(t),z'(t) obtidas acima. Ou seja:
x''(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(6t\bigr),\qquad y''(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(-e^{-t}\bigr),\qquad z''(t)=\dfrac{d}{dt}\!\left(\frac{2t}{1+t^{2}}\right).

Passo 8

Calcule x''(t). Aplicando a regra do poder/constante: \dfrac{d}{dt}(6t)=6. Então
x''(t)=6.

Passo 9

Calcule y''(t). Derivando y'(t)=-e^{-t}. Usando a regra da cadeia novamente para e^{-t}:
y''(t)=-\dfrac{d}{dt}e^{-t}=-\bigl(-e^{-t}\bigr)=e^{-t}.

Passo 10

Calcule z''(t) para z'(t)=\dfrac{2t}{1+t^{2}}. Duas maneiras: regra do quociente ou reescrever como produto. Reescrevendo:
z'(t)=2t\,(1+t^{2})^{-1}.
Use a regra do produto \dfrac{d}{dt}\bigl(u v\bigr)=u'v+uv' com u(t)=2t e v(t)=(1+t^{2})^{-1}.
  • u'(t)=2.
  • v'(t)=( -1 )(1+t^{2})^{-2}\cdot 2t=-\dfrac{2t}{(1+t^{2})^{2}} (regra da cadeia aplicada a (1+t^{2})^{-1}).
Portanto
z''(t)=2\cdot(1+t^{2})^{-1}+2t\cdot\Bigl(-\frac{2t}{(1+t^{2})^{2}}\Bigr) =\frac{2}{1+t^{2}}-\frac{4t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}.
Colocando no mesmo denominador (1+t^{2})^{2}:
z''(t)=\frac{2(1+t^{2})-4t^{2}}{(1+t^{2})^{2}} =\frac{2-2t^{2}}{(1+t^{2})^{2}} =\frac{2\bigl(1-t^{2}\bigr)}{(1+t^{2})^{2}}.

Passo 11

Resumo intermediário das segundas derivadas das componentes:
x''(t)=6,\qquad y''(t)=e^{-t},\qquad z''(t)=\frac{2\bigl(1-t^{2}\bigr)}{(1+t^{2})^{2}}.

Passo 12

Observação final rápida e incentivo: todas as expressões estão definidas para todo t\in\mathbb{R} (porque 1+t^{2}>0 sempre). Ótimo trabalho até aqui — é exatamente esse tipo de passo a passo que cai na prova. Respira, revisa as regras (potência, cadeia, produto/ quociente) e tá pronto.

Resposta

\gamma'(t)=\left(6t,\,-e^{-t},\,\dfrac{2t}{1+t^{2}}\right)
\gamma''(t)=\left(6,\,e^{-t},\,\dfrac{2\bigl(1-t^{2}\bigr)}{(1+t^{2})^{2}}\right)

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