Questão 5. Faça um esboço das curvas abaixo e determine as equações paramétricas de suas retas tangentes no ponto
dado.
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
, com
, e pede duas coisas sobre ela no ponto
com
e
.
Informações fornecidas:
- A função paramétrica tem coordenadas
e . - O ponto indicado é
e corresponde a (isto é, ).
O que o enunciado pede:
- Fazer um esboço (um desenho/descrição do formato) da curva
. - Determinar as equações paramétricas da reta tangente à curva em
.
Passo 2
Entender a forma da curva: eliminar o parâmetro para ver a forma cartesiana facilita o esboço.
Temos
. Isolando
:
Substituindo em
(note que
):
Portanto a curva é descrita pela equação cartesiana
sujeita às restrições que vêm de
. Observe que, como
para todo
, tem-se
e logo a parte da parábola que aparece é o ramo para
.
Passo 3
Esboço da curva (como desenhar na prova, passo a passo):
- É uma parábola vertical com vértice em
e aberta para cima; a concavidade é a mesma de uma parábola com . - Só aparece o ramo com
porque sempre; portanto a curva está inteiramente no primeiro quadrante, aproximando-se de quando e indo para infinito quando . - Pontos fáceis para marcar:
dá ; já usado. Para tem , — ponto ajuda a visualizar o crescimento rápido em . - Desenhe o eixo
, o eixo , marque o vértice no , represente a parábola apenas para e marque o ponto . A curva passa por e fica mais íngreme para maiores.
Passo 4
Calcular a derivada vetorial
, que dá a direção da velocidade (e da reta tangente) em cada
. Derivamos componente a componente:
Para a primeira componente
, usar a regra: a derivada de
é
. Assim
Para a segunda componente
, usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Então
Portanto a derivada vetorial é
Comentário didático curto:
aponta na direção tangente à curva em
; suas componentes são as taxas de variação instantâneas de
e
em relação a
.
Passo 5
Avaliar
no ponto
para achar a direção da reta tangente em
.
Substituindo
em
:
Isto significa que um vetor diretor da reta tangente em
é
.
Passo 6
Obter a equação paramétrica da reta tangente. A equação paramétrica de uma reta que passa por um ponto
e tem vetor diretor
pode ser escrita (usando parâmetro
) como
Aqui
,
e
. Logo a reta tangente em
tem equações paramétricas
Verificação rápida (sanity check):
- Para
recupera , ou seja, a reta passa por . - A razão
é a inclinação da reta; a forma cartesiana correspondente é
que é coerente com as equações paramétricas acima.
Passo 7
Resumo final e dica prática para a prova:
- Quando a curva é dada exponencialmente, tente eliminar
para reconhecer uma curva conhecida (aqui deu uma parábola), isso facilita o esboço. - Para a reta tangente, calcule
componente a componente, avalie em e monte a reta com ponto + vetor diretor. Anote sempre o parâmetro da reta (use para não confundir com ).
Resposta
Esboço: a curva é o ramo da parábola
para
, passando por
e aproximando-se de
quando
.
Equações paramétricas da reta tangente em
: