Questão 5. Faça um esboço das curvas abaixo e determine as equações paramétricas de suas retas tangentes no ponto P=\gamma\left(t_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} dado.
\gamma(t)=\left(3 e^{t}, 4 e^{2 t}\right), t \in \mathbb{R} e P=(3,4), t_{0}=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
\gamma(t)=\left(3 e^{t},\,4 e^{2 t}\right), com t\in\mathbb{R}, e pede duas coisas sobre ela no ponto P=\gamma(t_{0}) com P=(3,4) e t_{0}=0.
Informações fornecidas:
  • A função paramétrica tem coordenadas x(t)=3 e^{t} e y(t)=4 e^{2t}.
  • O ponto indicado é P=(3,4) e corresponde a t_{0}=0 (isto é, \gamma(0)=(3 e^{0},4 e^{0})=(3,4)).
O que o enunciado pede:
  • Fazer um esboço (um desenho/descrição do formato) da curva \gamma(t).
  • Determinar as equações paramétricas da reta tangente à curva em P.

Passo 2

Entender a forma da curva: eliminar o parâmetro para ver a forma cartesiana facilita o esboço.
Temos x(t)=3 e^{t}. Isolando e^{t}:
e^{t}=\frac{x}{3}.
Substituindo em y(t)=4 e^{2t} (note que e^{2t}=(e^{t})^{2}):
y=4 (e^{t})^{2}=4\left(\frac{x}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}x^{2}.
Portanto a curva é descrita pela equação cartesiana
y=\frac{4}{9}x^{2},
sujeita às restrições que vêm de t\in\mathbb{R}. Observe que, como e^{t}>0 para todo t, tem-se x>0 e logo a parte da parábola que aparece é o ramo para x>0.

Passo 3

Esboço da curva (como desenhar na prova, passo a passo):
  • É uma parábola vertical com vértice em (0,0) e aberta para cima; a concavidade é a mesma de uma parábola y=kx^{2} com k=\tfrac{4}{9}.
  • Só aparece o ramo com x>0 porque x=3 e^{t}>0 sempre; portanto a curva está inteiramente no primeiro quadrante, aproximando-se de (0,0) quando t\to -\infty e indo para infinito quando t\to+\infty.
  • Pontos fáceis para marcar: t=0 P=(3,4); t= \ln 1 =0 já usado. Para t= \ln 2 tem x=6, y=4 e^{2\ln 2}=4\cdot 2^{2}=16 — ponto (6,16) ajuda a visualizar o crescimento rápido em y.
  • Desenhe o eixo x, o eixo y, marque o vértice no (0,0), represente a parábola y=\tfrac{4}{9}x^{2} apenas para x>0 e marque o ponto P=(3,4). A curva passa por (3,4) e fica mais íngreme para x maiores.

Passo 4

Calcular a derivada vetorial \gamma'(t), que dá a direção da velocidade (e da reta tangente) em cada t. Derivamos componente a componente:
Para a primeira componente x(t)=3 e^{t}, usar a regra: a derivada de e^{t} é e^{t}. Assim
x'(t)=3 e^{t}.
Para a segunda componente y(t)=4 e^{2t}, usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{2t} é 2 e^{2t}. Então
y'(t)=4\cdot 2 e^{2t}=8 e^{2t}.
Portanto a derivada vetorial é
\gamma'(t)=\bigl(3 e^{t},\,8 e^{2t}\bigr).
Comentário didático curto: \gamma'(t) aponta na direção tangente à curva em \gamma(t); suas componentes são as taxas de variação instantâneas de x e y em relação a t.

Passo 5

Avaliar \gamma'(t) no ponto t_{0}=0 para achar a direção da reta tangente em P.
Substituindo t=0 em \gamma'(t):
\gamma'(0)=\bigl(3 e^{0},\,8 e^{0}\bigr)=(3,8).
Isto significa que um vetor diretor da reta tangente em P é (3,8).

Passo 6

Obter a equação paramétrica da reta tangente. A equação paramétrica de uma reta que passa por um ponto P=(x_{0},y_{0}) e tem vetor diretor (a,b) pode ser escrita (usando parâmetro s) como
x(s)=x_{0}+a s,\qquad y(s)=y_{0}+b s.
Aqui x_{0}=3, y_{0}=4 e (a,b)=(3,8). Logo a reta tangente em P tem equações paramétricas
x(s)=3+3s,\qquad y(s)=4+8s,\qquad s\in\mathbb{R}.
Verificação rápida (sanity check):
  • Para s=0 recupera x=3,\\ y=4, ou seja, a reta passa por P.
  • A razão \dfrac{y'(0)}{x'(0)}=\dfrac{8}{3} é a inclinação da reta; a forma cartesiana correspondente é
y-4=\frac{8}{3}(x-3),
que é coerente com as equações paramétricas acima.

Passo 7

Resumo final e dica prática para a prova:
  • Quando a curva é dada exponencialmente, tente eliminar t para reconhecer uma curva conhecida (aqui deu uma parábola), isso facilita o esboço.
  • Para a reta tangente, calcule \gamma'(t) componente a componente, avalie em t_{0} e monte a reta com ponto + vetor diretor. Anote sempre o parâmetro da reta (use s para não confundir com t).

Resposta

Esboço: a curva é o ramo da parábola \displaystyle y=\frac{4}{9}x^{2} para x>0, passando por P=(3,4) e aproximando-se de (0,0) quando t\to -\infty.
Equações paramétricas da reta tangente em P:
x(s)=3+3s,\qquad y(s)=4+8s,\qquad s\in\mathbb{R}.

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