Questão 5. Faça um esboço das curvas abaixo e determine as equações paramétricas de suas retas tangentes no ponto
dado.
e
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e fornece o ponto
com
.
As tarefas são:
As tarefas são:
- Fazer um esboço (rápido) da curva para
. - Determinar as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto
.
Passo 2
Começo extraindo pontos que ajudam no esboço: calcular
,
e
(peguei os valores da própria definição de
).
Esses três pontos nos dizem onde a curva começa (em
), passa por
(em
) e termina (em
). Para esboçar, basta plotar esses pontos e ligar apropriadamente conforme o crescimento de
.
Passo 3
Vou investigar a forma geométrica da curva eliminando o parâmetro. Escrevo
. Então
Isolando
em
:
Substituindo em
:
Portanto a imagem de
está contida na reta de equação
. Como
varia em
temos
, o que corresponde ao segmento dessa reta entre os pontos
e
. Ou seja, geometricamente a curva é exatamente esse segmento de reta; o ponto
está nesse segmento.
Passo 4
Agora vou obter a direção da reta tangente usando a derivada vetorial. Para uma curva paramétrica
, a derivada
é o vetor velocidade que aponta na direção da tangente no instante
. Aqui:
Logo
Passo 5
Avalio a derivada em
(peguei
do enunciado):
Esse vetor é um vetor diretor da reta tangente em
. Note que
é paralelo a
, então a inclinação (slope) da tangente é
coerente com a equação cartesiana
que encontramos antes.
Passo 6
Agora escrevo as equações paramétricas da reta tangente no ponto
. Usando o parâmetro livre
e o vetor diretor
, a reta tangente é
Isto dá as equações paramétricas
Como alternativa, usando o vetor diretor simplificado
obtém-se a forma equivalente
e a forma cartesiana/simétrica
Passo 7
Comentário final curto e encorajamento: a curva aqui era especial — apesar de estar dada por polinômios em
, ela fica em uma reta porque ambos os componentes dependem de
de forma linear entre si. Assim a reta tangente coincide com a própria reta que contém a curva. Mandou bem em pedir o esboço — com os pontos
,
,
já dá para desenhar tudo.
Resposta
Esboço: segmento da reta
entre
e
, contendo
.
Equações paramétricas da reta tangente em
:
.